INÍCIO

30 junho 2020

A IMAGEM DA GEOMETRIA


GEOMETRIA




A luna ou lúnula de Hipócrates. Solução parcial da tarefa da "quadratura do círculo", sugerida por Hipócrates. A área da figura sombreada é igual à área do triângulo ABC. Esta não é uma solução completa da tarefa (a solução completa é comprovada impossível com compasso e régua apenas).


HIPÓCRATES DE QUIOS
Ἱπποκράτης ὁ Χῖος (c. 470  c. 410 BC)
Στοιχεῖα, Stoicheia

Hipócrates de Quios floresceu na segunda metade do século V a.C., e especula-se que tenha vivido entre 470 e 410 a.C. 
Segundo conta uma anedota sobre sua vida, ele teria sido enganado em Bizâncio, perdendo sua fortuna (Aristóteles, Ética a Eudemo 1247a) e teve que ganhar a vida em Atenas, ensinando Geometria, talvez entre 450 e 430 a.C.

Nenhuma de suas obras chegou até nós e o que sabemos de seu trabalho deriva de descrições e menções de autores tardios. Depois dele, muitos matemáticos seguiram esse sistema em seus escritos; o mais famoso de todos foi Euclides de Alexandria (fl. 306 - 282 a.C.).

ὁ τοῦ κύκλου τετραγωνισμός
Quadratura do círculo

O único de seus estudos que conhecemos razoavelmente, através de um comentário de Simplício (490/560) sobre a perdida História da Geometria de Eudemo de Rodes (c. 335 a.C.), é uma pesquisa sobre o problema da quadratura do círculo.
Ele aparentemente recorreu à estratégia de dividir o círculo em um certo número de lunas ou lúnulas; calculando-se então a área de cada uma dessas partes, bastaria depois somá-las para obter a área total do círculo.
Hipócrates resolveu somente uma parte do problema, mas parece que seu método foi o primeiro que se aproximou da resolução do problema, na Antiguidade.

Segundo Eutócio de Ascalon (c. 480/540), outro problema investigado por Hipócrates é o da duplicação do cubo. Hipócrates propôs que o volume de um cubo pode ser dobrado, encontrando as duas médias proporcionais (médias geométricas) entre duas linhas ou entre um número e o seu dobro.

Ele aparentemente não resolveu o famoso problema, mas suas ideias serviram de base para os estudos de outros matemáticos que, eventualmente, chegaram a uma solução usando outros métodos.

Parece, também, que Hipócrates foi o primeiro a usar letras para identificar pontos geométricos das figuras geométricas estudadas, e.g. “triângulo ABC” é um triângulo com vértices nos pontos A, B e C.

Outro método atribuído a ele é o da redução, i.e., reduzir um problema grande a uma pequena parte, de resolução mais fácil, e depois extrapolar o resultado para o problema todo, como se vê, por exemplo, em seu estudo da duplicação do cubo.

U)Ma Temática Elementar por José C. Santos • Notícias • Clube da SPM
Lúnula de Hipócrates de Quios

MONTALVO E AS CIÊNCIAS DO NOSSO TEMPO: Fascínios da Matemática ...

Lúnula de Hipócrates de Quios


A principal conquista de Hipócrates é que ele foi o primeiro a escrever um livro de geometria sistematicamente organizado, chamado Elementos (Στοιχεῖα, Stoicheia), ou seja, teoremas básicos ou blocos de construção da teoria matemática. A partir de então, matemáticos de todo o mundo antigo poderiam, pelo menos em princípio, desenvolver uma estrutura comum de conceitos, métodos e teoremas básicos, que estimulavam o progresso científico da matemática.

Existe apenas um fragmento famoso dos Elementos de Hipócrates, incorporado na obra de Simplicius. Neste fragmento, a área é calculada para algumas das chamadas lunas de Hipócrates. Isso fazia parte de um programa de pesquisa para obter a "quadratura do círculo", ou seja, calcular a área do círculo ou, equivalentemente, construir um quadrado com a mesma área que um círculo. A estratégia, aparentemente, era dividir um círculo em várias partes em forma de crescente. Se fosse possível calcular a área de cada uma dessas partes, a área do círculo como um todo também seria conhecida. Somente muito mais tarde foi provado (por Ferdinand von Lindemann, em 1882) que essa abordagem não teve chance de sucesso, porque o fator pi (π) é transcendental. 
O número π é a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, e também a razão da área para o quadrado do raio. 

No século depois de Hipócrates, pelo menos quatro outros matemáticos escreveram seus próprios elementos, melhorando constantemente a terminologia e a estrutura lógica. Dessa maneira, o trabalho pioneiro de Hipócrates lançou as bases para os Elementos de Euclides (c. 325 a.C), que permaneceria o livro de geometria padrão por muitos séculos. 
Acredita-se que Hipócrates tenha originado o uso de letras para se referir aos pontos e figuras geométricos em uma proposição, por exemplo, "triângulo ABC" para um triângulo com vértices nos pontos A, B e C. 

Duas outras contribuições de Hipócrates no campo da matemática são dignas de nota. Ele encontrou uma maneira de resolver o problema da duplicação do cubo, ou seja, o problema de como construir uma raiz de cubo. Como a quadratura do círculo, esse era outro dos chamados três grandes problemas matemáticos da antiguidade (quadratura do círculo, duplicação do cubo e a trissecção do ângulo). Hipócrates também inventou a técnica da "redução", isto é, para transformar problemas matemáticos específicos em um problema mais geral e mais fácil de resolver. A solução para o problema mais geral fornece automaticamente uma solução para o problema original

Com relação as origens desse famoso problema (duplicação do cubo) existe uma lenda que conta que em 427 a.c. Péricles morrera de peste juntamente com um quarto da população de Athenas. 
Consternados por essa enorme perda, os habitantes consultaram o oráculo de Apolo na ilha de Delos sobre como combater a doença. 
A resposta foi que o altar de Apolo, que possuía o formato de um cubo, deveria ser duplicado. Prontamente os atenienses dobraram as dimensões do altar mas isso não afastou a peste. 
Ao dobrar a aresta do cubo o volume fora multiplicado por oito e não por dois. Com essa anedota, dada a aresta de um cubo, construir só com régua e compasso a aresta de um segundo cubo tendo este o dobro do volume do primeiro, ficou conhecido como problema Delos.

A partir dos trabalhos de Paolo Ruffini, Niel Henrik Abel e Évariste Galois, no seculo XIX, foi demonstrado que é impossível resolver este problema usando apenas régua e compasso. 

No entanto, é curioso que o problema possa ser resolvido por meio de dobraduras de uma folha de papel. 

De fato, a resolução do problema envolve o cálculo da raiz de x3-2=0. Tem sido mostrado que, com dobraduras de papel, é possível resolver qualquer equação cúbica ax3+bx2+cx+d=0. 

Assim, outros problemas geométricos que envolvem equações cúbicas também podem ser tratados com dobraduras, tais como a trissecção do ângulo e a construção de um heptágono regular.



 Diálogo de Sócrates e um escravo no qual ele ensina um problema específico de geometria



Sócrates: - Examina, agora, o que em seguida a estas dúvidas ele irá descobrir, procurando comigo. Só lhe farei perguntas; não lhe ensinarei nada! Observa bem se o que faço é ensinar e transmitir conhecimentos, ou apenas perguntar-lhe o que sabe. (E, ao escravo): Responde-me: não é esta a figura de nosso quadrado cuja área mede quatro pés quadrados?

Escravo: - É.

Sócrates: - A este quadrado não poderemos acrescentar este outro, igual?

Escravo: - Podemos. 

Sócrates: - Que múltiplo do primeiro quadrado é a grande figura inteira? 

Escravo: - O quádruplo. 

Sócrates: - E devíamos obter o dobro, recordaste? Escravo: - Sim. 

Sócrates: - E esta linha traçada de um vértice a outro da cada um dos quadrados interiores não divide ao meio a área de cada um deles? 

Escravo: - Divide. 

Sócrates: - E não temos assim quatro linhas que constituem uma figura interior? 

Escravo: - Exatamente. 

Sócrates: - Repara, agora: qual é a área desta figura? 

Escravo: - Não sei. 

Sócrates: - Vê: dissemos que cada linha nestes quatro quadrados dividia cada um pela metade, não dissemos? 

Escravo: - Sim, dissemos. 

Sócrates: - Bem; então quantas metades temos aqui? 

Escravo: - Quatro. 

Sócrates: - E aqui? 

Escravo: - Duas. 

Sócrates: - E em que relação aquelas quatro estão para estas duas? 

Escravo: - O dobro. 

Sócrates: - Logo, quantos pés quadrados mede esta superfície? 

Escravo: - Oito. 

Sócrates: - E qual é seu lado? 

Escravo: - Esta linha. 

Sócrates: - A linha traçada no quadrado de quatro pés quadrados, de um vértice a outro? 

Escravo: - Sim. 

Sócrates: - Os sofistas dão a esta linha o nome de diagonal e, por isso, usando esse nome, podemos dizer que a diagonal é o lado de um quadrado de área dupla, exatamente como tu, ó escravo de Mênon, o afirmaste. 

Escravo: - Exatamente, Sócrates! 


É provável que os gregos tenham então transposto tal problema para as figuras sólidas, começando com o cubo, isto é, encontrar a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado.






TRÊS PROBLEMAS MATEMÁTICOS DA ANTIGUIDADE CLÁSSICA

Trissecção do ângulo 

ὁ τοῦ στερεοῦ διπλασιασμός
Duplicaçãodo cubo 

ὁ τοῦ κύκλου τετραγωνισμός
Posted by at

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Assinar: Postar comentários (Atom)