INÍCIO

17 maio 2025

SÓLIDOS PLATÔNICOS

OS CINCO SÓLIDOS PLATÔNICOS 

Tetraedro (1)
Hexaedro

Octaedro (2)

Dodecaedro

Icosaedro

(4)


(3)

Apenas 5 sólidos platônicos podem existir devido às restrições geométricas que um poliedro regular e convexo precisa cumprir. A soma dos ângulos internos em cada vértice de um sólido platônico deve ser menor que 360 graus, o que limita a combinação de faces poligonais regulares que podem se encontrar em um vértice. 

Explicação

Poliedro Regular
Um poliedro regular é aquele cujas faces são polígonos regulares idênticos, e a mesma quantidade de arestas sai de cada vértice. 

Convexidade
Um poliedro convexo é aquele que, ao traçar um segmento de reta entre dois pontos quaisquer de sua superfície, esse segmento fica inteiramente dentro do poliedro. 

Restrições Geométricas

Ângulo Interno
Cada face polígono de um sólido platônico tem um ângulo interno específico (por exemplo, um triângulo equilátero tem 60 graus).

Soma dos Ângulos em um Vértice
A soma dos ângulos internos de todas as faces que se encontram em um vértice deve ser menor que 360 graus. 

Análise

Se tentarmos combinar faces com ângulos maiores em um vértice, a soma dos ângulos ultrapassa 360 graus, e o poliedro não pode ser fechado. 

Se tentarmos combinar faces com ângulos menores em um vértice, não teríamos um poliedro convexo. 

Possíveis Combinações

Após analisarmos todas as possibilidades, concluímos que apenas 5 combinações de faces poligonais regulares satisfazem as restrições geométricas de um sólido platônico:

• Tetraedro: Triângulos equiláteros em cada vértice (3 triângulos). 

• Hexaedro (Cubo): Quadrados em cada vértice (3 quadrados). 

• Octaedro: Triângulos equiláteros em cada vértice (4 triângulos). 

• Dodecaedro: Pentágonos regulares em cada vértice (3 pentágonos). 

• Icosaedro: Triângulos equiláteros em cada vértice (5 triângulos). 




Em resumo
A combinação de faces poligonais regulares em um sólido platônico é limitada pelas restrições geométricas de um poliedro regular e convexo, resultando em apenas cinco possibilidades.

Os sólidos platônicos são poliedros regulares convexos cujas faces são polígonos regulares congruentes, e em cada vértice encontra-se o mesmo número de arestas. Só existem cinco sólidos platônicos: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. A prova de que não podem existir mais do que esses cinco está relacionada às propriedades geométricas e combinatórias desses poliedros.

Argumento e Prova de Euclides (Elementos, Livro XIII)
Euclides demonstrou que só existem cinco sólidos platônicos usando as seguintes ideias:

1. Condições necessárias para um sólido platônico

• Todas as faces são polígonos regulares congruentes.
• O mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.
• O poliedro é convexo.

2. Relação entre faces, arestas e vértices

• Seja p o número de lados de cada face (por exemplo, p = 3 para triângulos, p = 4 para quadrados). 

• Seja q o número de faces (e arestas) que se encontram em cada vértice. 

3. Desigualdade angular

• Cada ângulo interno de um polígono regular de p lados mede:




• A soma dos ângulos em um vértice do poliedro deve ser menor que 360°, pois, caso contrário, as faces se "achatariam" e não formariam um vértice sólido. Logo: 

qxθ <360° 

Substituindo θ: 


Concluindo, somente essas combinações satisfazem as condições, garantindo que só existam cinco sólidos platônicos. 
Portanto, a prova de Euclides mostra que, devido às restrições geométricas e combinatórias, não podem existir mais do que cinco sólidos platônicos.




Fonte







II
17/MAIO/2025
DIA INTERNACIONAL CONTRA A HOMOFOBIA 











15 maio 2025

PEPE MUJICA

PEPE MUJICA 
(30/V/1935 - 13/V/2025)
PRESENTE





Como não respeitar um homem que disse frases como estas…

⭐️ 
"Quando você vai comprar algo, não paga com dinheiro, paga com um tempo de sua vida que teve que gastar para ter esse dinheiro."

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"O deus mercado organiza a economia, a vida e financia a aparência de felicidade. Parece que nascemos só para consumir e consumir. E quando não podemos, carregamos frustração, pobreza e autoexclusão."

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"Os que comem bem, acham que se gasta demasiado em política social."

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"Os setores proprietários dizem que não se deve dar o peixe, mas ensinar as pessoas a pescar. Mas quando destroçamos seu barco, roubamos sua vara e tiramos seus anzóis, é preciso começar dando-lhes o peixe."

⭐️
"A humanidade precisa trabalhar menos, ter mais tempo livre e ser mais pé no chão."

⭐️
"Pensávamos que era só chegar ao governo e construir uma sociedade mais justa. Descobrimos que isso é impossível. A verdadeira transformação política deve acontecer de baixo para cima, com a democracia."

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"Ser de esquerda é ter uma posição filosófica perante a vida onde a solidariedade prevalece sobre o egoísmo."

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"O casamento gay é mais velho do que o mundo. Tivemos de Júlio César a Alexandre, o Grande. Dizem que é moderno e é mais antigo do que todos nós. É uma realidade objetiva. Existe. E não legalizar seria torturar as pessoas desnecessariamente".

⭐️
"Me chamam de o presidente mais pobre do mundo, mas eu não sou um presidente pobre. Pessoas pobres são aquelas que sempre precisam de mais, aqueles que nunca têm o suficiente, porque estão num ciclo infinito. Escolhi esse estilo de vida austero, escolhi não ter muitas coisas, para que eu tenha tempo de viver como quero viver."

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"O que uns chamam de crise ecológica é consequência da ambição humana, este é nosso triunfo e nossa derrota."

⭐️
"Havia 40 milhões de probabilidades de nascer outro e foi você. Esse é o único milagre que existe lá em cima. Provavelmente viemos do nada e vamos para o nada. É preciso se comprometer com a vida."

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"[A morte] é uma senhora de quem não gostamos, e que não queremos, mas que inevitavelmente vai chegar em algum momento. Portanto, temos que nos resignar. Todos os seres vivos são feitos para lutar pela vida: desde uma erva daninha, um sapo e até nós. Chega-se à conclusão de que isso serve para dar sabor à vida, pois, como dizia o velho Aristóteles: tudo o que a natureza faz é bem feito."


FATOS PITORESCOS SOBRE 
ESSE GRANDE HOMEM 


1. Ele é florista

A profissão de Mujica é floricultor. Durante décadas forneceu flores para as feiras e floriculturas. Ele alternou essa atividade econômica com a de guerrilheiro (no final dos anos 60 e início dos 70), de parlamentar (desde os anos 80), de ministro (2005-2010) e de presidente da República (2010-2015). Nos últimos três anos foi senador. E continuou com suas atividades de floricultor, dirigindo seu trator em sua chácara na periferia da capital uruguaia.


2. Foi líder guerrilheiro

Nos anos 1960 Mujica foi um dos líderes dos Tupamaros, grupo guerrilheiro que aglutinava socialistas, maoistas e anarquistas com uma visão heterodoxa do marxismo. Em 1972 foi preso após ser alvejado com seis tiros (várias das balas ainda estão em seu corpo). Dos 13 anos como prisioneiro da ditadura esteve 11 na solitária. Com a volta da democracia dedicou-se a elevar o nível de vida dos pobres, mas mudou o enfoque sobre a burguesia, passando a considerar que uma boa relação com ela poderia ser útil para o país. Um dia ele me explicou as nuances de sua mudança de posição com uma metáfora bovina: “Não quero mais esmagar a burguesia, como desejava antes. De jeito algum. Eu quero é ordenhar a burguesia!”


3. Ele se definiu como leitão que assobia

Durante anos, quando alguém lhe perguntava se aspirava à Presidência da República, Mujica respondia rindo com ceticismo e citava um ditado do interior do Uruguai: “Presidente, eu? Hehehehehe... isso seria tão improvável como um leitãoa ssobiando!”. Seus simpatizantes, após a eleição, destacaram: “O leitão assobiou!”.


4. Andava de Lambreta e Fusca

Os meios de locomoção de Mujica ilustram seu modus vivendi austero. Durante duas décadas teve uma lambreta que caía aos pedaços. Mas em 2005, quando se transformou em ministro, optou por incrementar sua forma de transporte: vendeu a lambreta e adquiriu um Fusca modelo 1982. Em 2015 um xeque árabe ofereceu US$ 1 milhão pelo veículo. Mujica avaliou aceitar a oferta para doar o dinheiro para fins sociais. Mas grupos de uruguaios lhe pediram que não o vendesse, pois era um “símbolo nacional”. O Fusca ficou.


5. Pratica o sincericídio

Mujica é famoso por sua sinceridade. Isso ficou claro quando, durante uma crise diplomática com a Argentina governada por Cristina Kirchner, Mujica disse a um grupo de prefeitos: “Esta velha é pior que o caolho”. A “velha” era Cristina. O “caolho” (na realidade, estrábico), o já defunto ex-presidente Néstor Kirchner. No ano passado, perante declarações do venezuelano Nicolás Maduro sobre teorias da conspiração, Mujica disse: “Ele está mais louco do que uma cabra” (expressão hispano-americana para indicar que alguém está louco de pedra). E há poucas semanas, perante a repressão governista em Manágua, afirmou que o presidente nicaraguense Daniel Ortega havia deixado de ser um revolucionário e que precisava renunciar.


6. Nunca fumou maconha

Desde 1930 o consumo da maconha não é proibido no Uruguai (nem sequer o foi na ditadura militar). Mas a lei punia a produção e venda. No entanto, em 2013 o governo Mujica aprovou a lei de regulação da produção e comercialização da maconha, atualmente vendida em farmácias para consumidores registrados. O assunto tornou-se notícia mundial. Mas, apesar disso, Mujica jamais experimentou maconha. Pouco depois da legalização um jornalista fumou um cigarro de Cannabis na sua frente e ofereceu uma "pitada" ao então presidente. Mujica declinou o convite, afirmando: “Se para ser livre preciso fumar ou beber uma droga, estou lascado. A liberdade está aqui, em minha cabeça. Se não está aqui em minha cabeça, não tenho liberdade”.


7. Adora cães

Mujica adora cães. Recentemente faleceu sua cachorrinha, Manuela, que durante anos o acompanhou nos comícios e carreatas. A perna direita dianteira de Manuela foi amputada em um acidente quando era filhote (isto é, caminhava com três patas) e ela foi adotada pelos Mujicas. Ele ressalta que foi a única “cachorra política” da história de seu país. Em 2009, em plena campanha eleitoral, Mujica estava descansando em sua chácara e não queria dar entrevistas. Eu, na porteira, insistia. Aí apareceu Manuela, que seaproximou, começou a pedir afagos e ficou brincando comigo. Então Mujica disse: “Ah, mas se a Manuela gostou de você, te dou entrevista! Para mais ninguém”.


8. É tema de desenho animado

Em 2015 Mujica virou desenho animado para um spot da campanha de sua mulher, Lucía Topolansky, candidata na ocasião a prefeita da capital uruguaia: “A vida de Pepe com Lucía prefeita”. Mujica acorda, coloca a mão para o lado na cama...e Lucía não está. Claro, foi trabalhar. Ao lado da cama, em uma caminha, Manuela, a cachorrinha (no desenho ela aparece com três patas). Mujica vê um recado de Lucía, dizendo que tem uma série de reuniões ao longo do dia e que não a espere acordado. Mujica solta um “que lo tiró!”, equivalente a “putzgrila!” e depois reflete: “bom, pelo menos tenho esta foto de Lucía que está muito bonita...Terei saudade dela. Mas Montevidéu estará fenomenal!”. No entanto, Lucía não foi eleita prefeita.


9. Já bebeu sua própria urina para sobreviver

Seu colega de guerrilha, Eleuterio Fernández Huidobro revelou que Mujica, que durante a prisão sofreu o agravamento de problemas de rins, em diversas ocasiões, quando os guardas passavam dias sem lhe dar água, precisou recorrer ao próprios fluídos corporais. “É a primeira vez que temos um presidente que teve de beber sua própria urina”, ilustrou durante seu governo.


10. Plantou flores em penico

Durante anos a mãe de Mujica pediu aos militares que permitissem a seu filho ter um penico na cela. Mas os oficiais negavam o pedido. Em 1976 Mujica viu da janelinha de sua cela no quartel onde estava preso, que, no pátio ocorria um coquetel para civis da alta sociedade. Imediatamente gritou: “Estou fazendo xixi nas calças! Estou trancado aqui como um animal e nem sequer me deixam urinar! Senhores, senhoras, gostariam de fazer xixi nas calças?”. Os gritos tiveram efeito, pois os escandalizados civis afirmaram que “apesar de subversivo” o prisioneiro tinha direito a um urinol. Desta forma, os militares lhe concederam um penico. Nove anos depois a democracia voltou e Mujica saiu da prisão. Nas últimas semanas havia tido licença para usar o banheiro do corredor das celas. E assim, utilizou o penico para outro fim. Ao sair pelos portões da prisão, todos puderam ver Mujica carregando o penico, dentro do qual havia plantado flores.





LUA NO PLENILÚNIO

A LUA DE HOJE
PPLENILÚNIO






 

12 maio 2025

ROBERT RAUSCHENBERG

ROBERT RAUSCHENBERG 
(1925-2008)
Dezessete anos da morte de Robert Rauschenberg 

Robert Rauschenberg nasceu em Port Arthur, Texas, em 22 de Outubro de 1925, e faleceu na Flórida, em 12 de Maio de 2008; foi um artista do Expressionismo abstracto e Pop art.




Rauschenberg e Andy Warhol


Rauschenberg estudou no Kansas City Art Institute, na Academie Julian em Paris, e com Josef Albers no Black Mountain College na Carolina do Norte, antes de se fixar em Nova York, onde estudou no Art Students League of New York e onde desenvolveu relações mais profundas com Cy Twombly, Jasper Johns, John Cage, e Merce Cunningham.

É considerado um dos artistas de vanguarda da década de 1950, pois foi nessa época que, depois das séries de superfícies com jornal amassado do início da década, o artista deu início à chamada “Combine painting”, utilizando-se de garrafas de Coca-Cola, embalagens de produtos industrializados e pássaros empalhados para a criação de uma pintura composta por não somente de massa pigmentária das tintas, mas incluindo também objetos do cotidiano e objetos exóticos. Estes trabalhos foram precursores da Pop Art.

Rauschenberg une a pintura à comunicação, privando esta (em sua opinião) de sua aura, conceito desenvolvido nas obras de Walter Benjamin, e dizia não confiar em ideias, preferindo os materiais, pois estes o colocariam em confronto com o desconhecido. O artísta, quando mais jovem, fez parte do movimento Dadá em Nova Iorque, empregando “processos de collage fotográfica e serigráfica, produzindo impressões diretas de objetos imagísticos sobre placas sensibilizadas” (Thomas, 1994).

Acreditava ele que a pintura se relacionava com a vida e com a arte, assim buscando agir entre estes dois pólos. Nessa perspetiva o artista, em “Bed” (Cama), pinta o que acredita-se ser sua própria coberta, tornando a obra tão pessoal e íntima quanto um autorretrato, confrontando assim o aspeto pessoal de uma cama arrumada com o meio artístico, ao pendurá-la em uma parede, na vertical.

Assim, ainda que a cama perdesse sua função, ela ainda pode ser relacionada às atividades íntimas nela exercidas.

Nesse ponto, os limites entre a pintura e a escultura são tensionados até sua ruptura, bem como os limites entre o cotidiano e a arte. Os elementos (objetos) adicionados em seu trabalho fazem referências à cultura popular, enfatizando a teoria de Rauschenberg sobre objetos diários e a arte.

Na década de 1960 Rauschenberg usou a serigrafia ou silk-screen para imprimir imagens fotográficas em grandes extensões da tela, unificando a composição através de grossas pinceladas de tinta, e ganhou reconhecimento internacional na Bienal de Veneza de 1964.(WP)

12/V/2008
Morre aos 82 Robert Rauschenberg(1)

Artista americano foi central na arte do pós-guerra (WWII) e, ao lado de Jackson Pollock e outros, ajudou a reinventar a arte do século XX. 

O artista que foi pintor, fotógrafo, gravurista, coreógrafo, performer, cenógrafo e compositor faleceu logo após receber alta do hospital, na Flórida (EUA).

Artigo de FABIO CYPRIANO


Morreu, em 12 de maio de 2008, aos 82 anos, o norte-americano Robert Rauschenberg, um dos mais importantes artistas da segunda metade do século XX. A morte ocorreu em sua casa, na Flórida, após o artista ter solicitado alta de um hospital, onde se tratava de uma bronquite.
Rauschenberg fez parte do segundo ciclo de produção artística nos EUA, pós-Segunda Guerra Mundial, marcado pela experimentação, que se seguiu ao expressionismo abstrato, no qual participaram Jackson Pollock, Mark Rothko, Barnett Newman e Willem de Kooning.
Pintor, fotógrafo, gravurista, coreógrafo, performer, cenógrafo e compositor, Rauschenberg foi um dos mais produtivos artistas que transformaram o perfil da arte nos anos 50, sendo o primeiro norte-americano de seu grupo a ter reconhecimento internacional, ao ganhar o Leão de Ouro, na 32ª Bienal de Veneza, em 1964.
“Nenhum artista norte-americano foi mais criativo do que Rauschenberg”, chegou a dizer Jasper Johns, que iniciou sua produção no mesmo período.

Rauschenberg nasceu em Port Arthur, no Texas, no dia 22 de outubro de 1925. Em 1948 e 1949, ele estudou no Black Mountain College, na Carolina do Norte, com o alemão Josef Albers e tendo por colegas o coreógrafo Merce Cunningham e os compositores John Cage e David Tudor. Com Cage, ainda no Black Mountain, Rauschenberg criou “Theater Piece nº 1”, considerado o primeiro “happening” na história da arte.

Em 1949, Rauschenberg mudou-se para Nova York e lá, em 1953, começou a produzir a série denominada "Combines paintings", na qual ele misturava à pintura uma série de elementos inusitados, seja um pássaro empalhado, pedaços de pneu, ou uma cama, agregando um novo valor estético para a obra de arte.

Esse mescla de elementos distintos irá ser o centro de sua obra a partir de então. “A beleza agora está em segundo plano para qualquer lugar que ousemos olhar”, disse Cage a respeito da obra de Rauschenberg.
Eu tenho pena das pessoas que pensam que coisas como sabão, espelhos ou garrafas de Coca-Cola são feias, pois elas estão rodeadas por esses elementos o tempo todo e isso deve ser miserável”, dizia o artista norte-americano.

Dança e teatro
Com isso, Rauschenberg afirmava a vinculação entre arte e vida e a recusa em trabalhar com a idéia de representação, sendo que as coisas em si eram os melhores elementos para representar eles mesmas. Isso ocorria simultaneamente na dança, com Trisha Brown, por exemplo, que rompia, também em Nova York, com os espaços tradicionais para a apresentação de um espetáculo, levando-os para ruas e parques.

A dança e o teatro, aliás, também foram campos de experimentação de Rauschenberg. Desde os anos 50, ele se envolveu na produção de figurinos e cenários para artistas como Cunningham, Brown, Paul Taylor, Steve Paxton e Mikhail Baryshnikov.

No Brasil, o artista participou de quatro edições da Bienal de São Paulo: em 1959, 1967, 1994 e 1998. A quinta edição da Bienal, em 1959, é considerada uma das melhores da história do evento e teve, além de Rauschenberg, Philip Guston e David Smith, entre outros artistas consagrados.

***
Robert Rauschenberg foi um pintor americano e artista gráfico cujas primeiras obras anteciparam o movimento de arte pop. Ele é conhecido por fazer uso de materiais não tradicionais. Por exemplo, seus “Combine” da década de 1950, em que empregou materiais e objetos inovadores, questionando, assim, a distinção entre arte e objetos do cotidiano. Ele também produziu pinturas, esculturas, fotografias, gravuras e performances.

Estudou no Kansas City Art Institute (1946-1947), na Académie Julien, Paris (1947), e com Josef Albers e John Cage no Black Mountain College, na Carolina do Norte (1948-1950).

Viajando constantemente, viveu em Nova York desde 1950, onde ele e Jasper Johns abriram o caminho para a arte pop da década de 1960. Ele também trabalhou como figurinista e cenógrafo na Merce Cunningham Dance Company, de NY (1955-1964).

Artista eclético, ele produziu uma mistura de escultura e pintura em obras que ele chamou de “Combine”. Desde o final dos anos 1950, ele incorporou o som e motores em seus trabalhos.

Ao longo dos anos 1980 e 1990, ele experimentou por meio de colagens e novas formas de transferir fotografias para as telas. Em 1997, o Museu Guggenheim, NY, fez uma grande exposição de suas obras, mostrando a amplitude e a beleza dos trabalho e a influência sobre a segunda metade do século.



































































Fonte