ERATÓSTHENES E O ENÍGMA
DAS SOMBRAS
A: Cidade de Alexandria
S: Syene (e sua cisterna)
α : ângulo do raio luminoso = 7,2 graus
β: projeção do poço ao centro da Terra
= 7,2 graus
u: Sombra da coluna (gnomon ou obelisco)
O: Centro da Terra
Relacionamento entre os ângulos na fig. acima:
1) Ângulos correspondentes: são ângulos congruentes (mesma medida).
Os pares de ângulos a e e ; b e f ; c e h ; d e g representam pares de ângulos correspondentes portanto são ângulos de mesma medida.
2) Ângulos alternos internos: são pares de ângulos que estão internamente entre as retas paralelas (r e s) e em lados opostos da transversal (t).
Os pares de ângulos c e e e d e f representam pares de ângulos alternos internos portanto são ângulos de mesma medida.
3) Ângulos alternos externos: são pares de ângulos que estão fora das retas paralelas (r e s) e em lados opostos da transversal (t).
Os pares de ângulos a e h e b e g representam pares de ângulos alternos externos portanto são ângulos de mesma medida.
4) Ângulos colaterais internos: são pares de ângulos que estão internamente entre as retas paralelas (r e s) e no mesmo lado datransversal (t).
Os pares de ângulos d e e e c e f representam pares de ângulos colaterais internos portanto são ângulos suplementares ou seja somados totalizam 180º.
5) Ângulos colaterais externos: são pares de ângulos que estão entre as retas paralelas (r e s) e no mesmo lado da transversal (t).
Os pares de ângulos a e g e b e h representam pares de ângulos colaterais externos portanto são ângulos suplementares ou seja somados totalizam 180º.
6) Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V): são ângulos congruentes
A suposição de que os antigos acreditavam que a Terra era plana não se sustenta nem mesmo antes de Aristóteles, isso devido aos trabalhos de Pitágoras de Samos e Eratósthenes de Cirene.
No alvorecer da civilização ocidental, uma observação e um experimento particularmente geniais, delineado por um erudito grego, permitiu que pela primeira vez o homem calculasse indiretamente o valor da circunferência da Terra com grande precisão.
Simples, elegante e engenhosa essa ideia fiava-se no conhecimento geométrico matemático e nos teoremas e métodos desenvolvidos pelos geômetras que o precederam. Um claro exemplo de que a ciência é uma atividade de muitas mentes, umas muito afastadas no tempo. Essa ideia lançou luz sobre o objeto da geografia, mostrando a forma de nosso próprio planeta.
História de uma ideia
Eratósthenes (século III a.C) nasceu em Cirene Κυρήνη; Kyrénē, colônia grega da África, localizada na região onde hoje é a Líbia. Cirene foi fundada em um vale fértil nas terras altas de Jabel Acdar. Batizada em homenagem a uma fonte, Kyre, que os gregos consagraram a Apolo. Segundo Diodoro Sículo, a cidade foi fundada pelo deus Apolo, em honra a Cirene, filha de Hipseu, uma jovem muito bela da Tessália que ele raptou e levou para a Líbia.
Cirene era a capital de Pentápolis (Norte da África), um país de cinco cidades: Cirene, Arsinoe, Berenice, Ptolemias e Apollonia.
A cidade de Cirene foi, no século III a.C., sede de uma famosa escola de filosofia fundada por Aristipo, um discípulo de Sócrates.
Eratóstenes, Ἐρατοσθένης, Eratosthéni̱s; filho de Aglaos, nasceu em Cirene, em 276 a.C. e faleceu em Alexandria, 194 a.C., com 82 anos
Eratóstenes, um polímata grego, foi filósofo, geômetra, matemático, gramático, poeta, geógrafo, teorista musical, astrônomo e bibliotecário na Biblioteca de Alexandria, conhecido por calcular a circunferência da Terra e consequente seu raio.
Eratóstenes é descrito pela enciclopédia Suda como tendo sido aluno do filósofo Aríston de Quios, do gramático Lisânias de Cirene e do poeta Calímaco. O Suda também informa que Ptolemeu III Evérgeta trouxe-o de Atenas para Alexandria, onde permaneceu até o reinado de Ptolemeu V Epifânio. Afirma-se que Ptolemeu III trouxe-o inicialmente de Atenas para ensinar o seu filho Filopátor (Ptolemeu IV Filopátor).
A Suda também afirma que sus contemporâneos chamavam-no "Beta" por estar sempre em segundo lugar, ou seja, ser o segundo melhor do mundo em várias áreas do conhecimento humano. Outros, porém, o chamavam de "Pentathlos", pentatleta, por sua diversidade de conhecimentos. No Suda é dito que ele nasceu no período da 126ª Olimpíada e faleceu com a idade de 82 anos.
A Suda: ἡ Σοῦδα; e Soúda) é a primeira enciclopédia do mundo, surgida no século X, em Constantinopla, esta enciclopédia compila obras e personagens de forma inovadora, isto é, em ordem alfabética. Apesar de alguma imprecisão ela é fonte valiosíssima de informações até hoje.
Ele era um homem de grande erudição, seu trabalho se deu na área comparável ao que hoje é conhecido como estudo da geografia física, e ele introduziu algumas das terminologias usadas nesse campo do saber usadas até hoje.
A educação de Eratósthenes
Como qualquer jovem grego da época, Eratósthenes estudou no ginásio (gymnasium) local, onde aprendeu habilidades físicas e discurso social, bem como leitura, escrita, aritmética, poesia e música.
A palavra ginástica é atribuída a todo exercício na Grécia antiga, em Creta, Esparta e Atenas.
Esses exercícios naquela época foram bem documentados no livro intitulado "Gymnasticus, Γυμναστικός" de Lucius Flavius Philostratus, Φιλόστρατος o Atheniensis (c. 170 – 247/250 AD). Os exercícios no ginásio em datas posteriores preparava os homens para a guerra. O termo original para a prática da ginástica vem do verbo relacionado γυμνάζω (gymnazo), que significa "exercitar nu" porque os jovens se exercitavam sem roupas.
A palavra gymnasium é a latinização do substantivo grego γυμνάσιον: gymnasion, "escola de ginástica", no plural "exercícios corporais" e geralmente "escola", que por sua vez é derivado do adjetivo grego comum γυμνός: gymnós que significa "nu", por meio do verbo relacionado γυμνάζω: gymnazo, cujo significado é "treinar nu", "treinar em exercício de ginástica", geralmente "treinar, exercitar".
O verbo tinha esse significado porque quem praticava esportes se despia para o exercício. Historicamente, o ginásio era usado para exercícios, banhos comunitários e atividades acadêmicas e filosóficas.
O substantivo ginasta, é formado a partir da palavra grega γυμναστής: gymnastēs, palavra significa "treinador". Hoje essa palavra passou a ser o atleta que pratica uma modalidade de exercício físico.
A palestra era a parte do ginásio dedicada à luta livre, boxe e jogos de bola.
Na Grécia antiga, a aptidão física era um atributo altamente valorizado em homens e mulheres. Somente depois que os romanos conquistaram a Grécia em 146 a.C., que a ginástica se tornou mais formalizada e usada para treinar homens na guerra.
Com base na afirmação de Philostratus, de que a ginástica é uma forma de sabedoria, comparável à filosofia, poesia, música, geometria e astronomia, Atenas combinou esse treinamento mais físico com a educação da mente. Na Palestra que era o centro de treinamento de educação física, as disciplinas de educar o corpo e educar a mente foram combinadas, permitindo uma forma de ginástica mais estética e individual e que deixasse para trás a forma voltada para o rigor, a disciplina, a ênfase na derrota de recordes e foco na força.
Homero descreve eventos esportivos com relativa precisão, como os jogos em honra a Pátroclo, após a morte deste em ílion durante a guerra contra Tróia, com detalhes das competições de corrida de carro, pugilismo, luta, corrida pedestre, combate armado, lançamento de disco e dardo, e tiro com arco (Ilíada, canto XXIII) (Machado, 2010).
Existia uma crença grega que dizia que o corpo tem tanta importância quanto o intelecto e o espírito, e que a melhor maneira de honrar a Zeus é cuidar dos dois aspectos, o físico e o espiritual.(esquerda, 2008).
Como exemplo podemos citar o caso de Leônidas de Rodes, célebre por sua performance inigualável e versatilidade em três modalidades distintas de jogos olímpicos. Leônidas de Rodes, Λεωνίδας ὁ Ῥόδιος; nasceu em 188 a.C.; foi um dos mais famosos atletas olímpicos da Antiguidade. Competindo nos jogos olímpicos de 164 a.C., conquistou a coroa de louros em três diferentes corridas: o estádion, o diaulo e o hoplitódromos. Repetiu o feito nas três Olimpíadas seguintes, em 160 a.C., 156 a.C. e finalmente em 152 a.C., com 36 anos. O total de doze coroas, obtido por Leônidas, foi superado apenas 2168 anos após o feito, pelo maior nadador Olímpico da história, Michael Phelps/EUA, nas Olimpíadas de Verão Rio de Janeiro/BR em 2016, após sua décima terceira medalha de Ouro individual.
Leônidas foi célebre não só pelo seu número extraordinário de vitórias, como por sua versatilidade como corredor. Suas modalidades preferidas necessitavam de velocidade e força, em diversos graus de intensidade; o estádio e o diaulo, corridas de 200 e 400 jardas, respectivamente, eram mais apropriadas para velocistas, enquanto o hoplitódromo, um diaulo que o atleta executava vestindo parte da panóplia, exigia mais resistência e força muscular.
O autor ateniense Filóstrato escreveu em seu Ginástico (Gymnastikos) que a versatilidade de Leônidas havia tornado obsoletas todas as teorias anteriores sobre o treinamento dos corredores e seus tipos físicos (WP).
Do lado de fora do prédio (Gymnasium iuvenes, Palestra degli iuvenes) em Pompéia, pode-se ver um maravilhoso mosaico no piso do corredor de entrada, que retrata uma cena de luta com dois jovens atletas nus, um de frente para o outro (pompeiisites). Também se observam nas paredes, afrescos que retratam atletas, lutadores, saltador com halteres e o juiz da competição, conhecido como "Ludi Magister", carregando uma faixa para o vencedor. Este enorme espaço fazia parte de um banho termal para homens que remonta ao século I d.C. e localiza-se numa área de grande beleza cênica da vila com maravilhosa vista para o mar, tamanha era a importância dos exercícios físicos na antiguidade clássica.
E ver os jovens que se preparam tanto defender o nome de sua cidade-estado valia muito a pena, tanto que milhares de pessoas, peregrinavam por terra e por mar, para assistir aos jogos. Até de colónias gregas distantes, como a África ou a Espanha, vinham viajantes. Um relato da época dizia: "você vai a Olímpia e morre de calor, é amassado pela multidão, passa fome e sede, toma chuva e morre de frio, mas apesar disso vale a pena ir para ver espetáculos tão bonitos."(esquerda, 2008).
Corrida.
Terracotta Panathenaic prize from 530 B.C. (Credit: Public domain, courtesy of Metropolitan Museum of Art).
Discóbulo de Miron, lançamento de disco
Pedagogia ensino para a vida em sociedade e para a saúde na Grécia
A deusa Nike entregando uma coroa de louros a um atleta vencedor.
Vaso grego.
As honrarias para o vencedor, a faixa e a coroa de louros.
Algumas modalidades esportivas que eram ensinadas aos jovens e estes competiam nas olimpíadas.
Então sabemos que Eratósthenes teve uma educação igual a todos os outros jovens gregos e que aprendeu que a maior honraria a Zeus seria manter o corpo em forma e a mente aprimorada com o conhecimento disponível com os diversos professoes e filósofos da época.
Eratósthenes foi para Atenas para aprofundar seus estudos. Lá ele aprendeu estoicismo com o próprio fundador da escola estoica Zenon de Citium, em palestras filosóficas sobre como viver uma vida virtuosa.
Ele então estudou com Ariston de Quios (Ἀρίστων ὁ Χῖος Ariston ho Chios; fl. c. 260 BC), que liderou uma escola de filosofia cínica. Posteriormente também estudou sob o chefe da Academia Platônica que, na época era Arcesilaus de Pitane.
Ἀρκεσίλαος; 316/5–241/0 aC foi um filósofo helenístico grego. Ele foi o fundador do Ceticismo Acadêmico e do que é chamado de Segunda, Média ou Nova Academia, a fase da Academia Platônica na qual abraçou o ceticismo filosófico.
O interesse de Eratósthenes por Platão levou-o a escrever seu primeiro trabalho em nível acadêmico, intitulado: "Platonikos", no qual investigava os fundamentos matemáticos da filosofia de Platão.
Eratósthenes era um homem de muitas perspectivas e investigou a arte da poesia sob a orientação de Calímaco. Ele escreveu alguns poemas: um em hexâmetros chamado Hermes, ilustrando a história da vida do deus; e outro em versos elegíacos, chamado Erigone, descrevendo o suicídio da donzela ateniense Erigone (filha de Icarius).
Ele também é considerado o criador da cronologia científica; ele se esforçou para revisar as datas dos principais eventos da legendária Guerra de Tróia, datando o Saque de Tróia em 1183 a.C. Assim, surgiu o livro "Cronografias", um texto que retratava cientificamente datas importantes, começando com a Guerra de Tróia.
Este trabalho foi altamente estimado pelos seus contemporâneos por sua precisão.
George Syncellus, mais tarde, foi capaz de preservar de Cronografias uma lista de 38 reis Egípcios de Tebas. Eratóstenes também escreveu Olympic Victors, uma cronologia dos vencedores dos Jogos Olímpicos.
Não se sabe com certeza quando escreveu suas obras, mas todas elas destacaram suas habilidades e profundo conhecimento em diversos campos do conhecimento a que se dedicou.
Essas obras e suas grandes habilidades poéticas levaram o faraó Ptolemeu III Euergetes a colocá-lo como bibliotecário na Biblioteca de Alexandria no ano 245 aC.
Eratósthenes, então com trinta anos, aceitou o convite de Ptolemeu e viajou para Alexandria, onde viveu pelo resto de sua vida.
A Grande Biblioteca de Alexandria, no Egito, foi uma das maiores e mais importantes bibliotecas do mundo antigo. A Biblioteca fazia parte de uma instituição de pesquisa maior chamada Mouseion, que era dedicada às Musas, as nove deusas das artes.
A ideia de uma biblioteca universal em Alexandria foi proposta por Demétrio de Faleron, um estadista ateniense exilado que viveu em Alexandria, a Ptolemeu I Sóter, que pode ter estabelecido os planos para a Biblioteca, mas a própria Biblioteca provavelmente não foi construída até o reinado de seu filho Ptolemeu II Filadelfo no século III (Πτολεμαῖος Φιλάδελφος Ptolemaios Philadelphos, Ptolemeu, amante dos irmãos; que viveu de 309 a 246 a.C).
A Biblioteca adquiriu rapidamente muitos rolos de papiro, em grande parte devido às políticas agressivas e bem financiadas dos reis ptolemaicos para a aquisição de textos. Não se sabe exatamente quantos desses pergaminhos foram alojados em um determinado momento em suas estantes, mas as estimativas era um número próximo a 400.000 livros.
Em cerca de cinco anos, depois de chegar na biblioteca, tornou-se bibliotecário-chefe, cargo que o poeta Apolônio de Rhodes havia ocupado anteriormente. Como chefe da biblioteca, Eratósthenes foi tutor dos filhos do faraó Ptolemeu, Ptolemeu IV Filopator, que se tornou o quarto faraó ptolemaico.
Ele expandiu enormemente o acervo da biblioteca. Em Alexandria todos os livros deveriam ser entregues para a biblioteca afim de que fossem copiados (duplicados). Dizia-se que os livros eram copiados com tamanha precisão que era impossível dizer se a biblioteca havia devolvido o original ou uma cópia para os donos. Ele procurou manter a reputação mais alta da Biblioteca de Alexandria contra a concorrência da Biblioteca de Pérgamo. Eratósthenes criou uma seção inteira dedicada ao exame e estudo de Homero e adquiriu obras originais de grandes dramaturgos trágicos como Ésquilo, Sófocles e Eurípides.
Embora a biblioteca de Pérgamo tenha sido construída cerca de um século depois da biblioteca de Alexandria, (sec. II a.C), por Eumenes II entre os anos 220 e 159 a.C. e situada no extremo norte da Acrópole, da cidade de Pergamon, tornou-se uma das bibliotecas mais importantes do mundo antigo; as duas mantinham uma feroz rivalidade, já que bibliotecas eram frequentemente usadas para refletir riqueza e cultura de um povo. As duas bibliotecas competiam por pergaminhos, livros e até interpretação literária. Pérgamo também contratou alguns estudiosos homéricos, que estudaram a Ilíada e a Odisseia. Isso resultou em uma rivalidade feroz em que cada biblioteca tentou obter cópias das obras de Homero, esforçando-se para ter as obras mais precisas e mais antigas. Eles também tentaram atrair os melhores acadêmicos oferecendo salários mais competitivos. Em última análise, essa rivalidade forçou ambas as bibliotecas a inovar e melhorar. Acredita-se que a biblioteca de Pergamon tenha sido lar de 200 mil livros de todas as áreas do conhecimento humano.
Dono de um espírito investigativo, uma grande curiosidade e entusiasmo pelo conhecimento, Eratósthenes utilizou sombras e geometria para realizar um dos mais belos experimentos de todos os tempos.
Dessa forma, ele se tornou universalmente conhecido por ser a primeira pessoa a calcular a circunferência da Terra, utilizando sombras e um gnomom.
Para isso utilizou os extensos resultados das pesquisas que pôde empreender na biblioteca, através seu cargo como bibliotecário chefe na Biblioteca de Alexandria.
Seu cálculo foi notavelmente preciso. Ele também é conhecido por ser o primeiro a calcular a inclinação do eixo da Terra (inclinação axial da Terra), que também provou ter uma precisão notável. Além disso, criou a primeira projeção global do mundo, incorporando paralelos e meridianos com base no conhecimento geográfico disponível em sua época constante nos livros da Biblioteca de Alexandria.
Além de que, na teoria dos números, ele introduziu o crivo ou peneira de Eratósthenes, um método eficiente de identificar números primos. O Crivo de Eratósthenes é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite (WP).
Gnomon
Um gnomon, palavra grega: γνώμων, gnōmōn, que significa literlamente: "indicador, aquele que conhece ou examina", é a parte de um relógio de sol que projeta uma sombra, é a sua haste ou eixo.
Essa haste ou eixo vertical informa o tempo pela sombra que projeta (especialmente na placa triangular perpendicular ao plano do local, em um relógio de sol.
Gnomon palavra do grego antigo: gnōmōn indicador (de um relógio de sol), também régua do carpinteiro, significa literalmente "aquele que discerne ou examina, intérprete, especialista, que indica", do verbo gignōskein "vir a saber", da raiz de γνώ, gno "saber, conhecer", γνῶσῐς, gnosis: conhecimento: conhecimento espiritual pessoalizara insight e por extensão conhecimento profundo de algum assunto complexo.
Um gnômon é um relógio de sol, um dispositivo horológico que indica a hora do dia (referida como hora civil no uso moderno) quando a luz solar direta brilha pela posição aparente do Sol no céu. No sentido mais estrito da palavra, consiste em uma placa plana (o mostrador) e um gnômon, que projeta uma sombra no mostrador. À medida que o Sol parece se mover no céu, a sombra se alinha com diferentes linhas horárias, que são marcadas no mostrador para indicar a hora do dia.
O estylus, estilo (ponteiro) é a borda do gnômon que indica o tempo, embora um único ponto ou nodus possa ser usado. O gnômon lança uma sombra ampla; a sombra do estilo (ponta) mostra a hora.
O gnômon pode ser uma haste, um ponteiro ou uma peça fundida de metal elaboradamente decorada. O estilo (ponta) deve ser paralelo ao eixo de rotação da Terra para que o relógio de sol seja preciso durante todo o ano. O ângulo do estilo em relação à horizontal é igual à latitude geográfica (do local) onde está o relógio de sol.
Gnomon projetando uma sombra a medida que o sol avança durante o dia.
(WP)
Comprimento da sombra ao longo de um período de tempo
Gnomon, método do círculo indiano
Gnomon métido indiano (jornalciencia)
No equinócio, a linha de sombra corre em linha reta, muito próxima do leste-oeste. Ilustração: Wilma Wetterstrom. (jornalciencia).
Os relógios de sol mais comumente construídos são aqueles em que o estylo (ponteiro) de projeção de sombras é fixo em posição e alinhado com o eixo de rotação da Terra, sendo orientado com norte e sul verdadeiros e formando um ângulo com a horizontal igual à latitude geográfica. Este eixo deverá estar alinhado com os pólos celestes, ou seja, intimamente alinhado com a estrela polar (estrela Polaris).
Segundo Geng (2014) uma vara pintada datada de 2300 a.C. foi recuperada de uma escavação no sítio astronômico de Taosi, provincia de Shanxi. Trata-se do gnomon mais antigo conhecido na China (WP).
O gnômon era amplamente utilizado na China antiga a partir do século II a.C. para determinar as mudanças nas estações, orientação e localização (do norte) e latitude geográfica.
Os antigos chineses usavam medidas de sombra para criar calendários que são mencionados em vários textos antigos.
De acordo com a coleção de antologias poéticas chinesas de Zhou (Classic of Poetry), um dos ancestrais distantes do rei Wen da dinastia Zhou costumava medir comprimentos de sombra de gnômon para determinar a orientação em torno do século XIV a.C.
Astrônomos chineses desenvolveram calendários solares semelhantes aos confeccionados pelos maias, egípcios e outros povos, com grande precisão. A haste vertical no centro é conhecido como gnomon, uma palavra que significa, apontar, indicar, conhecer.
Em 1276, o astrônomo chinês Guo Shoujing calculou que um ano equivale a 365,2425 dias. Tais cálculos precisos só foram possíveis quando baseados nas sombras mais curtas e mais longas lançadas pelo Gnomon.
Na Roma antiga, a festividade da Saturnália perpetuada pelo Natal moderno coincide com o solstício de inverno (a sombra mais curta do indicada pelo gnomon. A Páscoa, por outro lado, é comemorada para coincidir com o equinócio vernal, quando o dia e a noite são iguais em duração.
Gaocheng, Antigo observatório na China
Este esquema mostra uma vista lateral das partes essenciais de um relógio de sol horizontal, para uma latitude de 40 graus, mas os princípios são os mesmos para qualquer latitude. O estilo ou haste é a é o próprio gnomon inclinado. A base do estylo ou subestilo funciona para a fixação do gnômon (haste) na placa do mostrador.
Funcionamento de um gnomon.
Gnomon haste ou stilo ou gnomon, parte elevada de um relógio de sol que projeta a sombra; o estilo ou gnomon. É um instrumento astronômico primitivo que consiste em um eixo vertical, coluna ou similar, para determinar a altitude do sol ou a latitude de uma posição medindo o comprimento de sua sombra projetada ao meio-dia. Em geometria, anteriormente era a parte de um paralelogramo que permanece após um paralelogramo semelhante ter sido retirado de um de seus vértices (Euclides).
Gnōmōn, o pino de um relógio de sol Grego, gnṓmōn literalmente, intérprete, discernidor, conhecedor.
Acredita-se que o filósofo grego Anaximandro de Mileto, na Jônia (atual Turquia), Ἀναξίμανδρος ὁ Μιλήσιος (610–546 a.C.) tenha introduzido este instrumento babilônico para os gregos antigos (WP).
Segundo Favorinus de Arles (c 8- a 160 d. C.) relata que foi Anaximandro que criou o gnomon fixando uma haste ao centro de um quadrante desenhado na ágora de Esparta.
Oenopides de Quios, Οἰνοπίδης ὁ Χῖος; c. 490 a.C., esse matemático e astrônomo grego foi responsável pela determinação do ângulo entre o plano do equador celeste e a eclíptica ou zodíaco, o caminho anual do Sol no céu. Ele descobriu que esse ângulo era de 24°.
O equador celeste é o círculo máximo determinado pela intersecção da esfera celeste com o plano perpendicular ao eixo terrestre que passa pelo centro da Terra. Em outras palavras, é uma projeção do equador terrestre para o espaço.
Com efeito, isso equivalia a medir a inclinação do eixo da Terra. O resultado obtido por Oenopides permaneceu o valor padrão por dois séculos, até que Eratósthenes mediu-o com maior precisão.
Sistema equatorial de coordenadas celeste
Órbita da Terra e o Zodíaco
Nascimento do sol ao longo do ano
Movimento do Sol, nascendo em diferentes posições, nas diferentes estações do ano, para uma latitude intermediária.
Esfera celeste (WP)
Ponto vernal (ou ponto de Áries), ascensão e declinação são os componentes
coordenadas celestes geocêntricas básicas (Velázquez, s/d).
Oenopides também determinou o valor do Grande Ano, ou seja, o menor intervalo de tempo que é igual a um número inteiro de anos e um número inteiro de meses. Como as posições relativas do Sol e da Lua se repetem após cada Grande Ano, isso oferece um meio de prever eclipses solares e lunares.
Na prática, isso é apenas aproximadamente verdade, porque a razão entre a duração do ano e a do mês não corresponde exatamente a nenhuma fração matemática simples, e porque, além disso, a órbita lunar varia continuamente.
Oenopides colocou o Grande Ano em 59 anos, correspondendo a 730 meses. Para a época esta foi uma boa aproximação, mas não era perfeita, pois, 59 anos (siderais) equivalem a 21.550,1 dias, enquanto 730 meses (sinódicos) equivalem a 21.557,3 dias.
A diferença, portanto, equivale a sete dias. Além disso, existem as variações interferentes na órbita lunar.
No entanto, um período de 59 anos tinha a vantagem de corresponder muito de perto a um número inteiro de revoluções orbitais de vários planetas ao redor do Sol, o que significava que suas posições relativas também se repetiam a cada ciclo do Grande Ano. Antes de Oenopides um Grande Ano de oito anos solares estava em uso (= 99 meses).
Pouco depois de Oenopides, em 432 a.C., Meton e Euctemon descobriram um valor melhor, mais acurado de 18 anos, que equivale a 223 meses, o chamado período de Saros. Méton de Athenas (Meton), Μέτων ὁ Ἀθηναῖος, descobriu o ciclo metônico ou “Ciclo áureo”, relacionado com a recorrência das fases da Lua aproximadamente no mesmo dia do ano. Este ciclo tem 235 lunações o que corresponde a um período de 19 anos)(este blog).
Zodíaco
A Oenopides também é creditada a frase: “desenhada com gnomon”, para descrever uma linha traçada perpendicularmente a outra. Mais tarde, o termo gnômon foi usado para um instrumento em forma de L, como um quadrado de aço, empregado para desenhar ângulos retos, i.e., um esquadro.
Essa forma pode explicar seu uso para descrever uma forma geométrica produzida pelo corte em um quadrado resultando em uma forma de L. Euclides estendeu o termo para a figura plana formada pela remoção de um paralelogramo semelhante de um canto de um paralelogramo maior (WP).
Euclides no Livro II, de seus Elementos (Stoicheia), inicia definindo paralelogramo e gnomon.
Definições
I. Todo paralelogramo retangular é dito ser contido pelas duas retas que contêm o ângulo reto.
2. E, de toda área paralelogrâmica, um dos paralelogramos, qualquer que seja, à volta da diagonal dela, com os dois complementos, seja chamado um gnômon.
De acordo com a primeira definição, o retângulo ABCD ilustrado à esquerda é contido pelas linhas AB e BC, e esse retângulo pode ser chamado de retângulo AB por BC. Claro, também poderia ser chamado de retângulo BC por CD, ou dois outros nomes.(Joyce, 2013)
À direita, no paralelogramo EFGH, há um diâmetro EG com um paralelogramo LNGO sobre ele e os dois complementos KLOF e MHNL, e esses três paralelogramos juntos formam o gnômon. Em outras palavras, um gnômon é uma figura em forma de L feita removendo-se um paralelogramo de um paralelogramo semelhante maior.
A palavra gnomon vem da palavra grega que significa “esquadro de carpinteiro”. O esquadro de carpinteiro é uma ferramenta em forma de L com seus dois lados em ângulos retos. O uso da palavra por Euclides é mais solto, pois ele não exige que os lados estejam em ângulos retos.
Euclides ilustrou os gnômons por arcos de círculos ao redor do vértice interno. Neste exemplo, o gnomon é chamado de gnomon PQR.
Página dos Elementos de Euclides no qual ele define a formação de um gnômon. (Euclides. Os Elementos. São Paulo, SP, UNESP, 2009).
O que Eratósthenes sabia
Segundo Lima Neto (2021), a astronomia é tão antiga quanto a História humana. Contudo, no início, a astronomia tratava apenas de observações e da previsão de alguns fenômenos celestes de forma puramente empírica. Não havia a preocupação em criar-se teorias que explicassem os fenômenos observados. Isto não impediu que civilizações na Babilônia, China, Egito, México, etc..., desenvolvessem um conhecimento sofisticado do movimento aparente do Sol, da Lua e dos planetas. Foi somente a partir do século VII a.C., na Grécia, que verdadeiras teorias cosmológicas começaram a ser criadas com o intuito de não apenas descrever as observações, mas explicá-las a partir de princípios básicos.
Não podemos esquecer que foram as observações acumuladas por séculos pelos povos da Mesopotâmia e do Egito em tabuinhas cuneiformes, papiros e pergaminhos, além de monumentos e pintura mural em túmulos, que possibilitaram de maneira fundamental o desenvolvimento da astronomia como ciência na Grécia clássica.
É importante lembrar que a evolução das ideias astronômicas não avançam de maneira linear, em alguns momentos o conhecimento se acumula exponencialmente devido as condições favoráveis e outras vezes devido às muitas guerras muito próximas no mesmo século impede esse aumento mais veloz do conhecimento.
A linha do tempo a seguir nos mostra os principais filósofos e astrônomos gregos que contribuíram para a astronomia.
Linha do tempo mostrando os grandes filósofos e astrônomos da antiguidade clássica (Grécia clássica) que tiveram destaque na astronomia. (Lima Neto, 2021)
A cidade de Syene (24,05° N), localiza-se próximo da moderna cidade de Aswan, no Egito, (próximo ao trópico de Câncer: 23,5° N).
Nessa linha de latitude, ao meio-dia do dia do solstício de verão (20 ou 21 de junho), quando o Sol cruza o meridiano, está diretamente acima da cabeça, ou seja, no zênite. Fique aí e você não terá sombra. Um antigo e profundo poço nessa localidade refletirá o sol neste dia do ano.
A cidade de Alexandria localiza-se mais ao norte (31,11° N) em relação a Syene, então o Sol do meio-dia, no dia do solstício de verão não estará diretamente acima da cabeças das pessoas. O sol nessa localidade passa pelo meridiano ao meio dia deslocado na direção sul, produzindo uma sombra na direção norte. Você, um graveto ou haste, uma coluna, um obelisco ou um gnomon, lançarão uma sombra em um ângulo de aproximadamente 7,2° Na direção norte.
Eratósthenes também sabia a obliquidade da ecliptica determinada por Oenópides de Chios no sec. V (por volta de 450 a.C.) sua medida era expressa como “a distância de um lado do pentadodecágono” (polígono de 15 lados iguais), isto é, 360°/15 = 24° (nesta época, a obliquidade média da eclíptica era por volta de 23°75). Esta forma de expressar um ângulo a partir de figuras geométricas é provavelmente de uma influência pitagórica. A medida da obliquidade da eclíptica em relação ao equador celeste pode ser feita medindo-se o comprimento da sombra de um gnômon ao meio-dia nos dias de solstício.
A altura do Sol, h, é dada por:
tan h(sol) = tamanho do gnômon / sombra do gnômon
Medindo esta altura nos solstícios temos hv e hi no verão e inverno, respectivamente. Observando
os triângulos na figura temos:
2ε + (180º − hv) + hi = 180º ⇒
ε = hv − hi /2
A fórmula acima é adequada para latitudes maiores que ε, isto é, fora da zona tropical. Nos trópicos temos:
2ε + hv + hi = 180º ⇒ ε = 90º − hv + hi /2
hv: altura do sol do solstício de verão
hi: altura do sol no solstício de inverno
Coordenadas geodésicas das duas cidades
envolvidas no cálculo da circunferência da Terra (cfp)
Alexandria
Ambas as cidades ficam perto do mesmo meridiano, ou linha de longitude, que é um grande círculo norte-sul (uma circunferência, na verdade) ao redor da Terra.
Como todos os círculos, o meridiano tem 360°. Como 7° é cerca de 1/50 de 360°, a distância entre as duas cidades (5.000 estádios) deve ser 1/50 da distância ao redor do meridiano. Ao multiplicar 5.000 por 50, Eratóstenes estimou a circunferência da Terra em 250.000 estádios. Então, como ele estava buscando um número fácil de usar, ele adicionou 2.000 estádios e obteve 252.000. (É igualmente divisível por 60 e 360.)
O conhecimento de Eratóstenes sobre distâncias estava fundamentado no trabalho de muitas gerações de comerciantes viajantes e nos levantamentos topográficos que se fizeram para as rotas comerciais nas quais se procurava o caminho mais plano e mais curto entre esses dois pontos.
Os escribas faraónicos davam uma distância entre Siena e Alexandria de 5.000 estádios.
É ainda citado na literatura a ideia de que Eratósthenes teria contratado alguém para medir em passos essa distância para contratar com os dados assentados nos registros antigos.
Possivelmente Eratósthenes teria arredondado o resultado para um valor final de 700 estádios por grau (de circunferência da Terra), o que produziria uma circunferência de 252 mil estádios.
Alguns estudiosos afirmam que Eratóstenes usou em seus cálculos o estádio egípcio que possui 157,5 metros, o que implicaria uma circunferência de 39.690 km, apresentando um erro de cálculo de 1,6%, quando comparado com o valor atual. E essa decisão de utilizar o estádio egípcio faz sentido pois ele estava radicado em Alexandria e sendo bibliotecário chefe, de uma biblioteca egípcia estatal, nada mais lógico do que empregar medidas que todos na comunidade usassem.
Claro, há a hipótese dele ter empregado o valor do estádio Ático que equivale a 185 metrosem seus cálculos para encontrar a medida da circunferência da Terra, uma circunferência de 46.620 km.
Sabe-se hoje através de dados de satélites e cálculos mais refinados, que o valor da circunferência da Terra é de 40.075 km de extensão. O valor encontrado por Eratósthenes de 46.620 km, implica um erro de 16,3%, quando se compara com os dados atuais.
Para calcular a circunferência da Terra utilizou a seguinte relação trigonométrica:
em que:
S é a distância entre Syene e Alexandria;
θ ou α é o ângulo formado das cidades de Siena e Alexandria (se a Terra for esférica);
π é a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência;θ ou α é o ângulo formado das cidades de Siena e Alexandria (se a Terra for esférica);
C é a circunferência da Terra;
Ou seja, a razão entre a distância das cidades S e a circunferência da Terra C, é igual à razão do ângulo formado pelas cidades e o ângulo total da circunferência da Terra.
Por que foi tão difícil?
Os satélites de hoje podem mapear e medir a Terra com poucos centímetros de precisão. Não foi tão fácil para Eratóstenes. Ele não tinha como medir bem as longas distâncias, e mesmo a contagem de passos muito cuidadosa é uma coisa desigual. O número redondo de 5.000 estádios é uma pista de que Eratóstenes sabia que o resultado era uma estimativa.
Assim, em cada dado usado por Eratósthenes havia um erro em suas suposições. Por exemplo, as cidades de Alexandria e Syene não estão no mesmo meridiano;
A cidade de Siena não está sobre o Trópico de Câncer, está situada 55 km mais a norte; (o trópico de câncer é uma linha imaginária localizada no Hemisfério Norte, sobre a latitude de 23,27º.
A Terra não é perfeitamente esférica;
Os raios de luz do Sol que atingem a Terra não são paralelos, há um ângulo muito pequeno, quase desprezível, entre eles;
A distância entre Alexandria e Syene não é de 5.000 estádios.
Com erros em todas as suposições Alexandria não fica exatamente ao norte de Asuã/Syene, está alguns graus a oeste dele, Asuã/Syene não está sobre o trópico de Câncer, está um pouco ao norte.
Eratóstenes não tinha como saber desses fatos. E todos estes introduziram erros levando a um valor um pouco desviado do valor real. Mas o método era genial e continua útil ainda hoje.
Há mais uma fato que ninguém sabia naquela época: a Terra se projeta no meio e é um pouco achatada nos pólos. Isso torna os meridianos (os grandes círculos norte-sul) um pouco mais curtos do que o equador leste-oeste, que tem 40.075 quilômetros de comprimento.
Essas pequenas discrepâncias provavelmente não teriam importância para Eratóstenes.
Ele também introduziu um erro ao adicionar estádios extras para facilitar os cálculos, o que mostra que ele não estava buscando a perfeição dos resultados. Ele só queria uma estimativa aproximada e se saiu incrivelmente bem.
O legado de Eratósthenes
EM CONSTRUÇÃO
Observando-se a sombra do planeta Terra projetada na Lua durante os eclipses, percebe-se uma curva avançando sobre a superfície do disco lunar a medida que o eclipse avança. Essa observação aliada a outras coletada ao longo da história mostra que a terra é uma esfera.
O texto medieval mais conhecido Tractatus de Sphaera Mundi, escrito por Johanes de Sacro Bosco (c. 1230), cuja primeira edição impressa apareceu em 1472, afirmava que
Embora o De Sphaera 1230 d.C seja um texto principalmente sobre o universo, contém uma descrição clara da Terra como uma esfera que concorda com a opinião advinda da leitura de Aristóteles e generalizada em toda Europa durante a alta Idade Média.
Johannes de Sacro Bosco no De sphæra, apresenta as várias evidências de que a Terra é redonda além de explorar o formato circular das órbitas aparentes dos demais planetas. Muito antes da exploração espacial, a humanidade tinha motivos suficientes para acreditar que a Terra era esférica.
Teorema de Thales
1) No século 3 a.C., o astrônomo grego Eratóstenes supôs, com toda a razão, que o Sol era algo tão distante e grande que seus raios chegavam à Terra paralelos uns aos outros. Se as sombras que eles projetassem num horário específico, mas em lugares diferentes, não fossem iguais, a Terra não poderia ser plana. Sua superfície deveria ser curva
2) Com isso em mente, ele reparou que o Sol do meio-dia não fazia sombra na cidade egípcia de Siena, mas fazia em outra, Alexandria, 800 quilômetros ao norte. Como as cidades ficavam na mesma longitude, o problema não era fuso horário, mas a própria curvatura da Terra. Então bastava medir o ângulo dessa sombra na mesma data e hora para calcular a circunferência do planeta
3) O grego foi medir a sombra em Alexandria. Deu 7 graus de inclinação em relação ao poste. O ângulo corresponderia a uma fatia de 800 quilômetros do planeta, que era a distância entre as duas cidades. Para completar os 360 graus de um círculo, seria preciso multiplicar esses 7 graus por 50. Da mesma forma, então, os 800 quilômetros vezes 50 dariam a circunferência da Terra. Deu mesmo: de um extremo a outro, a extensão do planeta é de cerca de 40 mil quilômetros
Escólios
Organização de um ginásio grego (Gymnasium)
Gymnasiarca: direitor ou gestor da escola, era escolhido entre os cidadãos da cidade para um mandato de um ano.
Sophronistae: o inspedor dos alunos, zelava pela disciplina e pela moral do corpo discente.
Paedotribae: Professor de cada uma modalidade de ginastica (professor de corrida, professor de lançamento de dardo, de equitação etc. )
Gymnastae: era o treinador dos jovens alunos
Aleiptae: passar óleo no corpo dos alunos
Em Atenas, dez gimnasiarcas eram nomeados anualmente, um de cada tribo. Esses funcionários se revezavam em uma série de empregos, cada um com funções exclusivas. Eles eram responsáveis por cuidar e compensar as pessoas que treinavam para concursos públicos, conduzir os jogos nos grandes festivais atenienses, exercer a supervisão geral sobre o moral dos competidores e decorar e manter o ginásio.
Abaixo deles na estrutura organizacional estavam dez sophronistae responsáveis por observar a conduta dos jovens e (principalmente) por assistir a todos os seus jogos.
Pedotribae e gymnastae foram responsáveis por ensinar os métodos envolvidos nos vários exercícios, bem como escolher o atletismo adequado para os jovens. As ginastas também eram responsáveis por monitorar a constituição dos alunos e prescrever remédios para eles se ficassem doentes.
Os aleiptae lubrificavam e espanavam os corpos dos jovens, atuavam como cirurgiões e administravam quaisquer drogas prescritas.
Segundo Galeno, também existia um professor dedicado especificamente à instrução em jogos de bola.
Os ginásios eram tipicamente grandes estruturas contendo espaços para cada tipo de exercício, bem como um estádio, palaestra, banhos, pórticos externos para prática em caso de mau tempo e pórticos cobertos onde filósofos e outros "homens de letras" davam palestras públicas e disputavam. A maioria dos ginásios atenienses estavam localizados em áreas suburbanas devido à grande quantidade de espaço nivelado necessário para a construção. Além disso, essas áreas tendiam a ser mais frias e mais próximas de um bom abastecimento de água do que áreas semelhantes no centro de Atenas.
Os três tipos de relógios de sol da UFSM (ufsm)
O primeiro relógio de sol da UFSM
(Universidade Federal de Santa Maria/RS)
Relógio de Sol Equatorial e Horizontal
A primeira construção foi o Relógio de Sol Equatorial e Horizontal, idealizado por Francisco José Mariano da Rocha, então diretor do Planetário, e planejado pelo professor do curso de Arquitetura e Urbanismo, Hugo Gomes Blois Filho, em parceria com Débora Sartori, na época estudante do mesmo curso. O relógio foi inaugurado nas comemorações dos aniversários de 40 anos da UFSM e de 29 anos do Planetário.
O monumento é composto por dois marcadores, um equatorial, em formato circular, e responsável por apresentar o correr das horas, a partir da projeção da sombra formada por um gnômon (haste que cruza o círculo); e outro horizontal, construído no solo, onde também é possível observar o passar das horas pela projeção das sombras.
No local, entre os números 5 e 6 do marcador, foi afixada uma estrela de cinco pontas, comemorativa ao aniversário de fundação da Universidade, ocorrida em 14 de dezembro de 1960. Ela possui as iniciais do professor José Mariano da Rocha Filho, idealizador e fundador da UFSM. Todos os anos, às 14h30min do dia 14 de dezembro, a sombra do gnômon, incide sobre a estrela de cinco pontas. Exatamente o horário em que foi assinado, pelo então presidente Juscelino Kubitschek, o ato de criação da Universidade Federal de Santa Maria.
Outra curiosidades, de acordo com arquivos do Planetário, o marcador horizontal tem sentido esotérico, “pois permite, quando observado do sul celeste, na passagem meridiana do solstício de inverno, a visão de um círculo com o ponto no centro, simbolizando Deus e os homens, todos iguais entre si”. Além disso, segundo os documentos, durante a passagem meridiana dos equinócios, o observador pode ver a representação de uma cruz projetada sobre o solo.
O segundo relógio de sol
Intihuatana
O segundo é um monumento construído no Parque é uma representação da pedra inca encontrada no ponto mais alto da cidade sagrada de Machu Picchu, no Peru. Intihuatana significa, no idioma quéchua, “onde se amarra o sol”. A pedra marca as estações do ano por meio da projeção de sombras na parte superior do monumento, o gnômon.
A pedra inca permite determinar a passagem meridiana, instante em que os astros atingem a máxima altura. Também marca os equinócios, dias do ano em que dia e noite têm exatamente a mesma duração – início do outono e início da primavera. O relógio foi inaugurado durante as comemorações de 45 anos da UFSM e de 34 anos do Planetário.
O terceiro relógio de sol:
Relógio Solar Tupi-Guaraní
Projetado pela equipe do Planetário, em comemoração ao aniversário de 50 anos da UFSM, o monólito é capaz de marcar os solstícios, equinócios e passagens meridianas.
A representação encontrada no Parque do Tempo é inspirada em um estudo desenvolvido por pesquisadores da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), realizado em 1991. Na época, a equipe analisou um monólito vertical, encontrado em um sítio arqueológico às margens do Rio Iguaçu, que tinha “quatro faces talhadas artificialmente, apontando para os quatro pontos cardeais Norte, Sul, Leste e Oeste. As duas faces menores apontavam na direção Norte-Sul e as maiores apontavam para a direção Leste-Oeste”, indicam os documentos de arquivo. Além disso, de acordo com os registros, “Ao entorno do monólito havia uma circunferência e alguns alinhamentos de rochas menores que, partindo dele, aparentemente indicavam os pontos cardeais e as direções do nascer e do pôr-do-sol nos solstícios e equinócios”.
Na UFSM, o relógio de alvenaria tem 1,50 m de altura. As pedras de basalto, distribuídas ao redor do monólito, marcam as linhas Norte-Sul, Leste-Oeste, além do nascer e do pôr do sol, dos solstícios de verão e inverno.
Como construir um relógio de sol
quando queremos determinar o ponto cardial Leste, aprendemos no Ensino Fundamental que se estendermos o nosso braço direito e apontarmos para onde o sol nasce esse será a direção leste, diametralmente oposto levantando o nosso braço esquerdo e apontamos para o lado onde o sol se põe; esta é a direção oeste. Portanto, nossos braços abertos determinam as direções leste-oeste e à nossa frente ficará a direção norte e às nossas costas a direção sul.
Mas será que isto realmente nos fornece as direções com uma boa precisão? Observações astronômicas nos mostram que o Sol não nasce e nem se põe nos mesmos lugares todos os dias. Isso ocorre devido ao movimento de translação da Terra em torno do Sol e também por que nosso planeta tem seu eixo de rotação inclinado aproximadamente 23,5º com relação ao plano de sua órbita ou plano da eclíptica.
Desta forma, o Sol percorre, anualmente, uma distância angular de aproximadamente 46º 54' entre os solstícios de verão e inverno nascendo e se pondo apenas nas direções leste e oeste respectivamente somente nos equinócios de primavera e outono.
Ao utilizarmos esse método errôneo de orientação pode nos levar a tomar direções erradas quanto a direção a seguir e nos perdermos se o caso exigir uma orientação precisa.
Como poderíamos então definir precisamente os pontos cardeais utilizando as posições do Sol? Um processo preciso, mas não perfeito, seria a utilização de um dispositivo denominado gnomon.
O gnomon é um dispositivo, utilizado desde tempos antigos para marcar as horas do dia e medir direções. Ele é constituído, em sua forma mais básica, de uma haste vertical fixada numa superfície plana, lisa e horizontal.
Nesta atividade prática usaremos o gnomon para determinar o meridiano astronômico local (MAL) e os pontos cardeais com boa precisão.
Em Astronomia, um meridiano é um círculo máximo imaginário situado na esfera celeste que passa pelos polos norte e sul desta esfera. Um meridiano local é aquele que passa pelo zênite e pelo nadir do lugar.
O instante em que o Sol cruza o meridiano local é denominado meio-dia verdadeiro do lugar. Não devemos confundir o horário verdadeiro do lugar com a hora legal a qual é definida para toda uma região geográfica em função de um fuso horário. Dois pontos dentro de uma região de mesmo fuso horário podem ter horas locais verdadeiras diferentes.
Para determinar o meridiano local vamos precisar de
1. Cabo de vassoura cortado com comprimento de 80 cm a 100 cm.
2. Um fio de barbante ou de cordão com 1 m de comprimento.
3. Um prego de duas polegadas ou maior.
4. Uma pazinha de jardinagem.
5. Fio de prumo.
Alternativamente podemos fazer essa mesma atividade usando os seguintes materiais:
Uma superfície plana, lisa e retangular (ex. madeira, fórmica ou isopor
grosso), uma pequena haste sólida perfeitamente reta (ex. um lápis) de
comprimento menor que a largura da superfície, uma folha de papel retangular, um
relógio, uma régua milimetrada, um esquadro ou um transferidor, um lápis ou
caneta, um barbante ou um compasso, percevejos ou uma fita adesiva e uma
bússola.
O Gnômon precisa ser montado num lugar de céu aberto, onde ele possa receber a luz solar durante toda a parte da manhã e da tarde. Para montá-lo é só espetar o cabo de vassoura verticalmente no solo. Para isso use a pazinha para fazer um pequeno buraco, de uns 15 cm de profundidade no chão e coloque o cabo de vassoura nele de forma que ele fique na vertical. Tape o buraco, compactando o solo no local, de modo que a haste do Gnômon fique o mais firme possível, ou use um martelo e bata no cabo de vassoura para que entre no solo.
É conveniente e essencial verificar a verticalidade da haste (gnomon) com um fio de prumo para garantir um bom funcionamento do dispositivo. Para cavar mais facilmente o buraco pode-se, previamente, jogar um pouco de água no local no qual vai ser cavado o buraco, com a finalidade de amolecer um pouco a terra.
Passos:
A. Escolher um local de trabalho onde a luz solar incide por volta do meio-dia.
B. Fazer um furo perpendicular à superfície, próximo do lado maior (e mais ou menos no meio de seu comprimento), de modo que a haste escolhida se encaixe com firmeza.
C. Fixar a folha de papel na superfície.
D. Encaixar a haste de modo perpendicular à superfície (verificar com o esquadro ou transferidor o ângulo de 90°) e dispor essa superfície na horizontal.
E. Medir com cuidado o tamanho efetivo de seu gnômon (comprimento entre sua extremidade e a superfície) com a régua.
F. Anotar a data na folha de papel.
G. Iniciar o experimento às 11h.
H. Marcar, no papel, a extremidade da sombra do gnômon a cada 10 ou 5 min.
I. Verificar e anotar a hora da ocorrência da sombra mínima.
J. Medir com cuidado o comprimento da sombra mínima.
K. Terminar as medições às 13h.
A sombra mínima do gnômon ocorre quando é meio-dia solar e o Sol está cruzando o meridiano celeste do lugar. O Sol atinge, nesse instante, sua altura máxima no céu. Comparar o instante do meio-dia solar com a hora civil do local (note que elas são distintas). Altura é o ângulo entre a direção do astro e o plano do horizonte. A sombra mínima estará alinhada na direção N-S. Use a bússola para comparar (lembre-se de que a agulha de uma bússola se alinha na direção dos pólos magnéticos e não geográficos). A direção leste-oeste será perpendicular à N-S, de modo que o sentido oeste será para onde o Sol estará “caminhando” após o meio-dia solar, sua culminação (sentido contrário da sombra). Para um local situado no hemisfério sul da Terra, conhecidas a direção N-S e a localização do ponto cardeal oeste, o ponto sul ficará à esquerda da pessoa se ela estiver olhando para o ponto oeste. Para o hemisfério norte da Terra, o ponto cardeal norte será também aquele à esquerda da pessoa.
Passos alternativos para determinar apenas a orientação dos pontos cardeais:
- Repetir os passos de A a F.
- Iniciar o experimento às 10h.
- Marcar a posição da extremidade da sombra num dado instante qualquer bem antes do meio-dia (anote a hora por curiosidade).
- Traçar sobre o papel, com muita atenção, uma circunferência centrada no gnômon (furo da superfície) com o compasso ou com o barbante amarrado no gnômon (+ um lápis).
- Quando a extremidade da sombra atingir novamente a circunferência traçada, marque o ponto onde isso ocorre (anote a hora por curiosidade).
- Traçar segmentos de reta que liguem o centro da circunferência com os pontos marcados sobre cada uma delas.
- Obter e traçar a bissetriz do ângulo formado pelo par desses segmentos de retas.
Usando o Gnômon
Amarre o prego em uma das extremidades do barbante de forma que ele fique bem preso. A outra extremidade do barbante deverá ser amarrada a base do Gnômon de forma que o barbante, quando esticado, possa girar em torno da haste sem ficar enrolado nela e ainda de forma que o seu comprimento possa ser regulado facilmente.
Marque, no solo, alguns pontos extremos da sombra projetada pela haste no solo(dois ou três) durante o período do dia e sobre estes trace alguns círculos no qual a haste esteja no centro do mesmo. Esta marcação poderá ser feita usando uma pedrinha ou mesmo riscando um X no local.
Para isto, utilize o cordão com o prego, preso a base da haste do Gnômon.
O Horário para isto deve ser com o Sol já um pouco alto entre 8hs e 11hs, pois no início da manhã as sombras serão muito longas e próximo ao meio dia serão muito curtas.
Traçado um círculo sobre a extremidade da sombra. A cada ponto marcado trace uma circunferência (usando a distância do centro à cada ponto marcado no solo, qie será como o raio dessa circunferência). Para isso use a cordinha e o prego.
Como dito, que haverá a necessidade de ajustar o novo raio do círculo conforme a distância do ponto marcado naquele horário.
No período da tarde as sombras voltarão a atingir as circunferências desenhadas anteriormente. É preciso ficar atento a estes momentos e neles marcar os novos pontos de incidência das extremidades das sombras da haste sobre as circunferências.
Marcação dos pontos no período da tarde. Fique atento para que os pontos sejam marcados sobre os mesmos círculos.
Para a determinação da direção leste-oeste basta passar um segmento de reta pelos pontos marcados sobre um mesmo círculo. Para a determinação da direção norte-sul tomamos a bissetriz do ângulo central à circunferência formado por dois pontos de uma mesma circunferência ou simplesmente traçamos uma reta perpendicular a direção leste-oeste já traçada. A direção norte-sul indica a linha meridiana local.
Linha meridiana local obtida a partir das marcações nos horarios antes do meio dia e depois do meio dia. Marcação de dois pontos sobre uma mesma circunferência. A reta que passa pelos pontos é a direção Leste-Oeste e a bissetriz desse segmento unido ao ângulo formato pelos dois pontos com a origem da haste ou estaca (centro da circunferência) será a linha meridiana local, i.e., direção Norte-Sul.
LATITUDE GEOGRÁFICA DE UM LUGAR DO HEMISFÉRIO SUL
Nosso objetivo agora é calcular a latitude geográfica por meio da medição da sombra mínima de um gnômon, e conseqüentemente, da altura máxima do Sol (culminação ao cruzar o meridiano celeste local) na ocasião do solstício do inverno austral, por volta de 21 de junho, ou data próxima.
Material necessário:
Além do gnômon e do material utilizados na prática anterior, necessitaremos
de uma calculadora científica.
Passos:
- Anotar, no papel fixado na base de seu gnômon, a data e o comprimento efetivo do gnômon.
- Obter a sombra mínima e medir sua extensão segundo os procedimentos da atividade anterior.
- Calcular a altura da culminação do Sol. A altura máxima do Sol é o ângulo formado entre a direção do mesmo na culminação e o horizonte do lugar. Neste instante, o Sol está “desenhando” um triângulo retângulo formado pela sombra mínima e pelo gnômon, que serão os catetos. A hipotenusa desse triângulo é definida pelo raio de luz solar que tangencia a extremidade do gnômon. A altura do Sol é igual ao ângulo formado pela sombra e pela hipotenusa desse triângulo. Então, é só obter a tangente desse ângulo fazendo a divisão entre o comprimento do gnômon e a extensão da sombra. Daí, tem-se, o ângulo da culminação.
- Calcular a latitude do lugar aplicando conhecimentos astronômicos básicos sobre o sistema de coordenadas equatoriais (posição do pólo elevado, equador celeste, latitude, altura de culminação e declinação) como mostrado na Figura a seguir.
- A latitude do lugar, em módulo, é dada pela fórmula adiante, para lugares no hemisfério sul entre o equador e o círculo polar na ocasião do solstício do inverno austral:
|latitude| = 90° – (altura-do-Sol) - 23°,5
Para um lugar ao norte do equador, a atividade deve ser feita num dia próximo ao solstício do inverno boreal (21 de dezembro).
Culminação do Sol no dia do solstício de inverno austral para um local do hemisfériuo sul terrestre entre o equador e o círculo polar.
Perceba que a declinação do Sol iguala-se a 23,5º N (inclinação do eixo de rotação terrestre relativa à perpendicular da eclíptica). Note que o polo elevado do lugar é o polo celeste sul (PS). Z é o Zênite , L é a latitude geográfica do lugar e a altura da culminação do Sol é dada pelo ângulo "a" (Milone s/d).
Sistema de coordenadas equatorial. O astro M tem coordenadas ascensão reta (α, medida a partir do ponto vernal, ) e declinação (δ). Atualmente, a inclinação do equador celeste em relação à eclíptica, ε, é de aproximadamente 23º26' 21",45 no início do ano 2000.
Diagrama ilustrando a definição dos trópicos de câncer e capricórnio e os círculos polares. O
ângulo ε é a inclinação do
eixo da Terra (obliquidade da
eclíptica). Como o Sol está
muito distante, podemos assumir que os raios de luz
chegam paralelos na Terra.
A figura corresponde ao momento do solstício no Hemisfério Sul. Após seis meses, os
raios do Sol chegam perpendicularmente no Trópico de
Câncer (solstício do Hemisfério Norte).
Estações do ano
Devido à inclinação do eixo de rotação da Terra, o Sol tem uma trajetória aparente anual, a eclíptica, inclinada em relação ao equador. Isto é a origem das estações do ano que ocorrem tanto na Terra como em outros planetas do Sistema Solar. Como vimos, a passagem do Sol pelo equinócio vernal marca o início do outono no Hemisfério Sul; neste momento, por definição, a ascensão reta do Sol é zero (α = 0h). O inverno tem início quando α = 6h (dizemos que o Sol está no solstício de inverno), a primavera se inicia quando α = 12h (equinócio de primavera), e o verão quando α = 18h (solstício de verão). No Hemisfério Norte, ao invés do início do verão, temos o início do inverno quando α = 18h e o solstício é chamado de inverno. Devido à obliquidade da eclíptica, também podemos definir algumas latitudes especiais. No início do verão do Hemisfério Sul, o Sol passa pelo zênite de observadores que estejam na latitude ϕ = −ε, onde ε = 23º27 é a inclinação do eixo terrestre. Esta latitude é chamada Trópico de Capricórnio, veja Fig. acima. Da mesma forma, no início do verão do Hemisfério Norte, o Sol passa pelo zênite na latitude ϕ = +ε; este é o Trópico de Câncer. Se a latitude do observador estiver entre +23º27 N e 23º27 S este verá, pelo menos uma vez por ano, o Sol passar pelo zênite. Para observadores fora desta zona, o Sol nunca passa pelo zênite (Lima Neto, 2021).
Bibliografia
Li, Geng (2014). "Gnomons in Ancient China". In Ruggles, Clive (ed.). Handbook of Archaeoastronomy and Ethnoastronomy. Springer New York (published July 7, 2014). p. 2095.
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