O USO DA ESPIRAL DE FIBONACCI NA COMPOSIÇÃO DE OBRAS IMAGÉTICAS
(Desenho, pintura, gravura e foto)
Uma obra gráfica, seja ela desenho, pintura, gravura, ou fotografia, inicia na mente com a ideia é está leva a um tema, depois vem a composição. Como você enquadra uma cena é a condição sine qua non, para produzir uma boa obra.
Uma técnica de composição dos elementos da imagem, que sempre produziu bons resultados, é obtida empregando a Proporção Áurea. Se quisermos usar a constante phi em nossas imagens é necessário sabermos o que é, sua história, como foi desenvolvida, como foi usada, e como tem sido usada desde então, para produzir imagens agradáveis.
Um dos mais notáveis exemplos são as obras do próprio Phidias nas quais ele usou o seu cânone.
Fídias, em grego antigo, Φειδίας, nasceu em Atenas, c. 480 a.C. é morreu em Olímpia (?), c. 430 a.C., foi um célebre escultor, pintor e arquiteto da Grécia Antiga, ativo no século V a.C. Sua estátua de Zeus em Olímpia foi uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo. Fídias também desenhou as estátuas da deusa Atena Parthenos, para a Acrópole ateniense, e a Atena Promachos, um bronze colossal que ficava entre ela e os Propileus, um portal monumental que servia de entrada para a Acrópole em Atenas. Fídias era filho de Cármides de Atenas. Os antigos acreditavam que seus mestres foram Hégias e Ageladas.
Segundo pesquisadores nenhuma obras desse, que foi e é considerado um dos maiores escultores gregos antigos, chegaram até nós, é que se possa com certeza atribuir a ele próprio ou a seu atelier. A maioria são cópias dos originais feitos em período romano. Uma dessas obras, cópia, é a estátua de Athena Varvakeion, uma escultura em mármore pentélico de Athena Parthenos da época romana.
A estátua tem 1,05 de altura, aproximadamente um duodécimo da altura estimada do original. É esculpido em mármore pentélico e apresenta vestígios de tinta vermelha e amarela. Atena está vestida com um peplos cintado com uma zona em forma de duas cobras; sobre esse pelos ela usa a égide, decorada com cobras e com o gorgoneion, a cabeça da Medusa, no centro. Ela usa um elmo ou capacete ático com as proteções das bochechas levantadas. O elmo ou capacete apresenta três cristas, a central ostentando uma esfinge e as laterais um pégaso. Sua mão esquerda repousa na borda de seu escudo que também traz o gorgoneion ao centro; o escudo repousa sobre a oikouros ophis, uma serpente sagrada, identificada com Erichthonios, o lendário fundador da cidade. A mão direita estendida é apoiada por uma coluna e segura uma figura alada de Nike, cuja cabeça está faltando. Esta imagem menor também está vestida com um peplos e está um pouco voltada para a figura principal. Todo o conjunto está assentado sobre uma base retangular de mármore.
Athena Varvakeion. Museu Arqueológico Nacional de Athenas.
Φ
Φ PHI E A PROPORÇÃO ÁUREA
O que é a proporção áurea?
Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega Φ,ϕ, phi, em homenagem ao escultor Pheidias, Φειδίας (Pheidias, Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência. O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias.
Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte.[9] É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. O Φ, como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado de forma aproximada no homem: no tamanho das falanges, os ossos dos dedos, por exemplo, nas colmeias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem de crescimento na natureza (WP).
Uma reconstrução da estátua de Zeus de Fídias em Olímpia em uma gravura feita por Philippe Galle em 1572, a partir de um desenho de Maarten van Heemskerck (WP).
Bacarat, em Bacarat (2013), nos apresenta uma das passagem mais belas e claras sobre a arte. “Eis uma das passagens da filosofia antiga mais citadas em manuais, histórias, companions e obras do gênero dedicadas à estética e à teoria da arte:
Estejam, pois, se queres, duas massas de pedra postas uma ao lado da outra; uma delas é sem modelagem e sem participação de uma arte, a outra já dominada pela arte e transformada em estátua de um deus ou de algum homem – um deus como uma Graça ou uma Musa, e um homem, não um qualquer, mas um que a arte produziu a partir de todas as coisas belas (ὃν ἐκ πάντων καλῶν πεποίηκεν ἡ τέχνη); essa pedra, transformada pela arte na beleza de uma forma, aparecerá bela não por ser pedra – pois assim a outra também seria igualmente bela – mas sim por causa da forma (παρὰ τοῦ εἴδους) que a arte introduziu nela. Essa forma, portanto, a matéria não a possuía, mas ela estava naquele que a concebeu mesmo antes de advir à pedra; e ela estava no artista (ἐν τῷ δημιουργῷ) não porque ele tem olhos e mãos, mas porque ele participava da arte. Então, na arte, essa beleza era muito superior; pois não é aquela beleza que estava na arte a beleza que veio à pedra, aquela permanece, mas sim uma outra, derivada da arte, inferior àquela; e essa beleza não permaneceu pura em si mesma nem tal como ela desejava, exceto na medida que a pedra cedeu à arte.
Se a arte produz conforme o que ela é e possui – e produz beleza de acordo com a razão (κατὰ λόγον) do que ela produz – ela é mais forte e verdadeiramente bela por possuir a beleza da arte, que é superior e mais bela do que tudo quanto há no exterior. (Bacarat, 2013)
De fato, quanto mais ela se dilata adentrando a matéria, tanto mais ela se torna fraca em relação à arte que permanece em unidade. Pois tudo que se distende se afasta de si mesmo, se força em força, se calor em calor e, em geral, se potência em potência, se beleza em beleza. E todo produtor primário deve ser por si mesmo superior ao produto; pois a obra musical não é produzida pela ausência de música, mas pela música, e a música sensível é produzida por uma música anterior a ela.
E se alguém despreza as artes porque elas produzem imitando a natureza, deve-se dizer a ele, em primeiro lugar, que também as naturezas imitam outras coisas. Em seguida, deve-se saber que elas não imitam simplesmente o que visto, mas recorrem às razões (λόγους) de que provém a natureza. Ademais, elas produzem muitas coisas a partir de si mesmas e acrescentam a essas coisas o que lhes falta, uma vez que são possuidoras da beleza; pois mesmo Fídias não fez seu Zeus conforme nenhuma coisa sensível, mas tendo-o concebido tal como Zeus seria, se desejasse aparecer aos nossos olhos.” (Bacarat, 2013).
Não é difícil imaginar por que essa passagem seja sempre tão lembrada. Com a celebridade do banimento dos poetas, das artes miméticas de modo geral, da República de Platão (597b-598c), essa defesa entusiasmada da arte soa como uma insurgência irresistível, ainda mais porque vinda do interior do próprio platonismo. Finalmente os filó- sofos platônicos poderiam entregar-se à fascinante arte de Homero sem culpa. A produção artística recebe uma defesa filosófica de tal vigor, que, prati- camente sozinho, Plotino reabre as portas da cidade para os poetas, permitindo aos neoplatônicos que o sucederam reabilitarem brilhantemente o “pai dos gregos”, como o fizeram Porfírio e Proclo.
Na passagem citada, o que nos admira, inicialmente, é que a produção natural também seja imitação; é imitação necessária, espontânea, não deliberada, mas também é imitação. Basta-nos passar os olhos por alguns capítulos do tratado Sobre a Natureza, a Contemplação e o Uno (III. 8 [30] 2-4), para entendermos que a natureza é um eîdos, o lógos do noûs, que produz o universo sensível inserindo lógos na matéria informe através da contemplação da herança noética recebida da alma superior. A arte produzida pelo homem, por sua vez, também é mímesis; entretanto, ela não é imitação ou representação da natureza, como sugerira Platão, mas daquilo mesmo que dá origem à natureza, os princípios formativos intelectuais contidos no intelecto. Portanto, o artista produz sua arte através da contemplação imediata do inteligível e pode – outro ponto que causa admiração – produzir com mais beleza e perfeição do que a natureza, pois pode contemplar com mais intensidade do que ela (Bacarat, 2013).
Em I. 6 [1] 8, por exemplo, numa página digna dos momentos mais grandiosos de Platão, Plotino usa a odisséia de Odisseu como alegoria do retorno da alma errante neste mundo sensível para o inteligível: “Fujamos para a pátria querida, alguém exortaria com maior verdade [Homero, Ilíada II, 140]. Então, que fuga é essa? Como? Navegaremos como Odisseu, diz ele [Homero] - enigmando, penso eu, que fugiu da feiticeira Circe ou de Calipso [Odisséia, IX, 29ss. e X, 483-4], não contente em permanecer, embora tivesse prazeres para os olhos e se unisse a muita beleza sensível. Nossa pátria é donde viemos e nosso pai está lá. Que jornada e que fuga são essas, portanto? Não devemos perfazê-la com os pés: os pés nos levam a todo lugar, da terra para terra; e não precisas preparar uma carruagem de cavalos ou uma embarcação, porém deves te afastar de tudo isso e não olhar, mas, como que cerrando os olhos, substituir essa visão e despertar uma outra, que todos têm, mas poucos usam”.
OBTENÇÃO DO φ Phi
Existe uma regra matemática descoberta por Euclides, que diz que qualquer linha reta pode ser dividida de forma que o segmento mais longo dividido pelo segmento mais curto tenha a mesma proporção que a linha completa dividida pelo segmento mais longo. É a seção áurea ou proporção áurea ou número áureo ou constante de Fídias ou proporção divina, no campo das artes figurativas e da matemática, indica o número irracional 1.6180339887...
Euclides por volta de 300 a.C., deixou o mais antigo testemunho escrito sobre o assunto. No XIII livro de seus Elementos, a respeito da construção do pentágono, ele fornece a definição de divisão de um segmento na última e média proporção, em grego ἄκρος καὶ μέσος λόγος, ákros kai mésos logos:
“um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo”.
O segmento total c está para o segmento maior a, assim como o segmento maior a, está para o segmento menor b.(WP)
c : a = a : b = φ
Retângulo dourado.
Os dois lados do retângulo estão na relação definida pela seção áurea, assim como os dois segmentos a e b.(WP)
A proporção áurea é uma razão entre duas medidas resultando em uma constante real, algébrica e irracional, denotada por φ e que vale aproximadamente 1,618; letra φ foi atribuída ao número de ouro por conta do matemático e arquiteto grego Phídeas, que acredita-se que tenha utilizada a proporção áurea pela primeira vez na construção do Parthenon, no século V a.C..
Algebricamente também é possível determinar a proporção divina da seguinte forma (Barros, 2013):
Obtenção do phi algebricamente.
Determinar a divisão em média e extrema razão de um segmento AB, é o mesmo que encontrar o segmento áureo de AB. Por se tratar de um problema que envolve uma equação de segundo grau, o mesmo admite duas respostas. Assim, o processo de divisão pode também determinar o segmento áureo de E'B.
Divisão em média e extrema razão (WP).
Podemos visualizar no esquema a seguir:
Essa proporção mágica passa a ser 1.618 e é conhecida como “a proporção áurea”, ou “a proporção divina”. Nos círculos matemáticos, esse número especial é conhecido como Phi. Mas o que isso tem a ver com fotografia?
Em termos de composição da imagem, você pode usar essa proporção para decidir como dividir seu quadro. Não coloque seu assunto no meio; em vez disso, use o horizonte como guia e coloque o assunto no ponto 1.618. É um pouco difícil de entender no começo, mas vamos explorar isso com mais detalhes, então não se desespere se inicialmente você se sentir perdido.
Segmentos do pentagrama estão na proporção áurea, como mostrado no esquema acima. O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular (nesse caso inscrito em um círculo). O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.
Pentágono regular e suas diagonais em vermelho.
Quando se constrói um pentágono regular, formam-se naturalmente triângulos áureos.
Imagem do pentágono evidenciando o triângulo áureo (WP).
Retângulo e triângulo áureo.
Existem também polígonos que podem ser definidos como áureos, pois possuem a proporção áurea em algumas de suas partes; o caso mais emblemático é sem dúvida o do retângulo áureo, seguido do triângulo áureo (WP).
É possível mostrar que independente do tipo de triângulo, quando classificado pelos seus ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo), poderá ser um triângulo áureo. Um triângulo acutângulo é dito áureo quando este triângulo é isósceles e a razão do tamanho de um dos seus lados congruentes pelo lado não congruente for o número de ouro.
Um triângulo retângulo é dito áureo se for semelhante a um triângulo retângulo com hipotenusa igual a e catetos iguais a e 1.
E finalmente, um triângulo obtusângulo é dito áureo quando este triângulo é isósceles e a divisão do tamanho do seu lado não congruente por um dos seus lados congruentes for o número de ouro.
No retângulo a relação pode ser encontrada entre o lado menor e o lado maior, enquanto no triângulo entre a base e os lados iguais; além disso, em ambas os casos pode-se notar que uma sucessão de números semelhantes que são cada vez menores pode ser obtida com o fator φ phi de encolhimento (diminuição) em relação ao mais externo. No retângulo áureo também é possível verificar que a sequência “converge” para um ponto de fuga que nunca será alcançado, denominado olho de Deus pelo matemático Clifford A. Pickover, provavelmente referindo-se à definição de “divino”, dada à proporção por Luca Pacioli.
Trabalhando sobre as sucessões é possível obter uma espécie de espiral, chamada espiral áurea, também ligada à secção do mesmo nome, mas da qual esta representa apenas uma boa aproximação formada por quartos de círculo; como acontece no caso do retângulo, onde, neste caso a espiral que se aproxima se avizinha, se assemelha à espiral dourada, ora tangenciando-a, ora sobrepondo-se e ambas tendendo para um pólo assintótico coincidente com o mesmo “olho de Deus”.
FILOTAXIA
A filotaxia é o estudo da disposição das folhas no caule das plantas. No século XIX, os irmãos Louis e Auguste Bravais, o primeiro botânico e o segundo cristalógrafo, observaram que em algumas plantas as folhas estão dispostas no caule segundo uma espiral vegetativa, em que o ângulo entre duas folhas sucessivas é quase constante e é aproximadamente 137,5°. Este ângulo, correspondente ao ângulo áureo ou ângulo dourado, garante um aproveitamento ótimo da luz solar. E como isto se dá na prática? Esse ângulo permite o mínimo de sombreamento possível entre folhas sucessivas, permitindo um melhor aproveitamento dos fotos que chegam à superfície da folha.
Além da filotaxia a constante phi aparece, mesmo que aproximada, como cociente entre estruturas do corpo humano, por exemplo:
altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
E a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão (aprumaria-se da proporção áurea).
Essas proporções anatómicas ideais foram representadas na obra “Homem Vitruviano”, obra de Leonardo Da Vinci.
Homem vitruviano (ou homem de Vitrúvio) é um conceito apresentado na obra Os dez livros da Arquitetura, escrita pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius Polio Marco Vitruvio Polio, do qual o conceito herda no nome.
O conceito é considerado um cânone das proporções do corpo humano, segundo um determinado raciocínio matemático e baseando-se, em parte, na proporção áurea. Desta forma, o homem descrito por Vitrúvio apresenta-se como um modelo ideal para o ser humano, cujas proporções são perfeitas, segundo o ideal clássico de beleza.
Nos dez livros sobre arquitetura, de Vitrúvio (De architectura libri decem), o Homem vitruviano não foi ilustrado em nenhuma de suas versões, o que encorajou o imaginário de muitos artistas posteriores, incluindo Francesco di Giorgio, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Robert Fludd, entre outros.
Vitruvius considerou um homem ideal, ao molde grego, que fosse bem constituido, simétrico e proporcional entre outros atributos. A teoria de pessoas bem torneadas com uma proporção ideal do corpo do outro em (figuratus homo bene Latina.).
Originalmente, Vitrúvio apresentou o cânone tanto de forma textual, descrevendo cada proporção e suas relações, quanto através de desenhos. Porém, à medida que os documentos originais perdiam-se e a obra passava a ser copiada durante a Idade Média, a descrição gráfica foi perdida.
Assim, com a redescoberta dos textos clássicos durante o Renascimento, uma série de artistas, arquitetos e tratadistas dispuseram-se a interpretar os textos vitruvianos a fim de produzir novas representações gráficas. Dentre elas, a mais famosa e (hoje) difundida é a de Leonardo da Vinci que acompanhava as notas que Leonardo fez no ano 1490 num dos seus diários.
Homem Vitruvio de Leonardo da Vinci.
Vários outros exemplos foram encontrados na natureza, desde pétalas de flores, cujo número geralmente pertence à sequência de Fibonacci, até formas anatômicas humanas, da geometria das folhas à estrela do mar, da espiral dourada dos moluscos náutilos à espiral das galáxias.
A GRADE Φ (Phi)
Um grid que pode ser traduzido como “grade”, é uma ferramenta utilizada em diversos meios para gerar proporções e linhas-guia. Estas servem como um molde para criar diversos conteúdos, como fontes padronizadas, imagens que se encaixam, paisagem em desenho, fotos, entre outras peças.
Pare e olhe para o texto que você está lendo agora. Reparou que todas as letras possuem uma pequena caixa menor para minúsculas, onde todas têm a mesma altura e largura? Logo acima, há outra caixa para letras maiores, como o “l” e a maioria das maiúsculas. Da mesma foram, há um espaço abaixo para letras que se prolongam, como o “g”. Essa padronização do espaço ocupado facilita a leitura, tornando as letras mais reconhecíveis ( modif. welancer).
Vários artistas, fotógrafos e cineastas preferem usar uma grade baseada em Phi ao compor suas fotos, por isso essa técnica é chamada de “Phi Grid”. É uma variação da Regra dos Terços, um dos princípios básicos da composição da fotografia e da arte em geral.
A Regra dos Terços divide um retângulo em três linhas e três colunas de tamanho igual, resultando em 1: 1: 1 na vertical e 1: 1: 1 na horizontal.
O Phi Grid divide o quadro, tela ou retângulo de maneira semelhante, mas reduz a linha e a coluna do meio de acordo com a proporção áurea, resultando em 1:1.618:1 na vertical e 1:1.618:1 na horizontal.
Aqui está uma comparação rápida:
Linhas azuis representa a regra dos terços, enquanto as linhas pretas a grade da constante phi, φ.
A interseção das linhas de grade é para onde os olhos são atraídos naturalmente; portanto, use-os para alinhar sua imagem.
A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
Em geometria, a proporção áurea também pode ser expressa como um tipo particular de retângulo. Suponha que você pegue a linha x + y acima e gire um retângulo, onde a largura é x e o comprimento é x + y.
Se você dividir a área desse retângulo em uma série de quadrados, ele formará uma espiral da sequência de Fibonacci:
Leonardo Pisano (1170-1250), natural de Pisa, era conhecido como Fibonacci, talvez uma contração de “filho de Bonacio". Na cidade de Bugia (atual Bejaia), na Argélia, onde seu pai serviu como cônsul, um matemático árabe mostrou a Fibonacci todas as possibilidades do sistema de numeração indo-arábico; entusiasmado com tais maravilhas e novidades, Fibonacci decidiu aprender o que os árabes haviam desenvolvido a respeito, o que o levou a visitar os matemáticos árabes das costas do Mediterrâneo e visitado o Egito, a Síria, a Grécia e a Sicília.
Leonardo Pisano (1170-1250),Fibonacci.
Fibonacci, que era muito bom matemático, reuniu tudo que aprendeu com os árabes em um dos livros mais exitosos de todos os tempos, publicado na Itália em 1202, o Liber Abaci (Livro dos Ábacos), cujas primeiras palavras entraram para a história da Matemática:
“Eis os nove símbolos hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 e 1. Com eles, mais o símbolo do zero, que em árabe é chamado de zéfiro, qualquer número pode ser escrito.”
Exercícios abundantes incluídos no livro mostravam como os algarismos arábicos podiam substituir com vantagem as letras dos sistemas hebraico, grego e romano; como se podia fazer cálculo com números inteiros e fracionários, extrair raízes quadradas e cúbicas, correlacionar quantidades por meio das regras de três, calcular lucros e juros, fazer câmbio de moedas e conversão das grandezas conforme as unidades de sua medição.
Na sua época Fibonacci tornou-se famoso e chegou a ser um protegido do imperador Frederico II, brilhando e sendo aplaudido nas reuniões em que resolvia problemas aritméticos e equações propostas por matemáticos especialmente convidados. Atualmente Fibonacci é mais conhecido por haver apresentado no Liber Abaci uma série com a qual pretendia prever o número de coelhos gerados mensalmente a partir de um único casal de coelhos, supondo que os casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida.
Afirmava ele que seriam, respectivamente, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 pares de coelhos etc, no fim dos meses sucessivos. Essa sequência ficou conhecida como série de Fibonacci: o primeiro número da série é 1; o segundo, também 1; a partir daí cada número é igual à soma dos dois números anteriores.
Muitas pessoas acreditam que a série de Fibonacci rege as leis que entram em jogo nas reverberações da luz nos espelhos, bem como as leis rítmicas do aumento e da perda na radiação de energia; ela também se liga a certos eventos da natureza, como o número de pétalas das flores, as formas de galáxias e nuvens e à formação dos quadrados que servem à construção das espirais equiangulares.
SEGMENTO ÁUREO
Como já visto, o quociente de um número da série por seu antecessor converge para 1,618, e essa razão define o chamado segmento áureo, com as suas conhecidas implicações estéticas, seja nos padrões de distribuição de folhas nos Ramos e no caule, de pétalas nas flores, nas razões entre partes do corpo humano, seja nas concepções arquitetônicas, como nos edifícios do Partenon e da ONU, e até mesmo no comprimento dos braços de uma cruz, na espiral da concha do molusco náutilus e até nas galáxias.
Por isso o uso do φ na arte é essa “melhoria” que produz beleza de acordo com a razão, muito mais produzirá uma razão universal matemática que é a linguagem do próprio universo, pois mais bela de tudo quanto há no exterior é a razão que vem sintetizada do logos universal, do próprio inconsciente, do qual é uma centelha.
Fonte
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