ARQUIMEDES DE SIRACUSA
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος
(Συρακούσες, Μεγάλη Ελλάδα)
Ἀρχιμήδης
Romanizado para: Arkhimḗdēs
O JOGO DE ARQUIMEDES
Stomachion: the Belly-Teaser
o provocador do ventre
Ostomachion: the Bone-Battler
o lutador de ossos, luta de ossos
Suntemachion: the Slice-Fitter
o Fatia-Ajustador, ajustador de fragmentos
Arquimedes (287 – 212 a.C.)
Página retirada do site da UFRGS, minha Alma Mater Studiorum.
Arquimedes de Siracusa (em grego: Ἀρχιμήδης; Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para que seja considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica.
Entre suas contribuições à Física, estão as fundações da hidrostática e da estática, tendo descoberto a lei do empuxo e a lei da alavanca, além de muitas outras. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas para usos militares e civis, incluindo armas de cerco, e a bomba de parafuso que leva seu nome. Experimentos modernos testaram alegações de que, para defender sua cidade, Arquimedes projetou máquinas capazes de levantar navios inimigos para fora da água e colocar navios em chamas usando um conjunto de espelhos.
Arquimedes é frequentemente considerado o maior matemático da antiguidade, e um dos maiores de todos os tempos (ao lado de Newton, Euler e Gauss). Ele usou o método da exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola utilizando a soma de uma série infinita, e também encontrou uma aproximação bastante acurada do número π (Pi). Também descobriu a espiral que leva seu nome, fórmulas para os volumes de sólidos de revolução e um engenhoso sistema para expressar números muito grandes.
Durante o Cerco a Siracusa, Arquimedes foi morto por um soldado romano, mesmo após os soldados terem recebido ordens para que não o ferissem, devido à admiração que os líderes romanos tinham por ele. Anos depois, Cícero descreveu sua visita ao túmulo de Arquimedes, que era encimado por uma esfera inscrita em um cilindro. Arquimedes tinha descoberto e provado que a esfera tem exatamente dois terços do volume e da área da superfície do cilindro a ela circunscrito (incluindo as bases do último), e considerou essa como a maior de suas realizações matemáticas.
Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado, entre outros, Galileu Galilei, Christiaan Huygens e Isaac Newton.
Arquimedes o maior físico, matemático e inventor do mundo antigo; foi um dos supremos intelectos da civilização ocidental. Outro gênio de poder e criatividade não apareceu até Isaac Newton, no séc. XVII.
Arquimedes nasceu na cidade grega de Siracusa, na ilha de Sicília. Tinha intimidade com a família real e foi provavelmente parente do rei Herão II. Na sua juventude estudou no centro intelectual de Alexandria. Provavelmente, durante esse período, encontrou seu amigo Eratóstenes, futuro diretor da Biblioteca de Alexandria, a quem ele comunicou muitas de suas descobertas. Consagrou-se às matemáticas e, muito especialmente à geometria, sob a orientação de Euclides. Muito jovem ainda começou a distinguir-se por seus trabalhos científicos, dos quais o mais notável foi indubitavelmente o saneamento dos pântanos do Egito considerado, até então, irrealizável, e que ele levou à prática por meio de diques móveis, que eram bombas de água espiralada conhecida como “parafuso de Arquimedes”. Aparelho que ainda hoje é usado ao longo do Nilo para levar água do rio aos campos adjacentes. De regresso a Siracusa consagrou-se ao estudo da geometria e da mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que o imortalizaram. Aos 75 anos foi assassinado por um soldado romano quando Siracusa foi conquistada pelo exército de Marcelo durante a Segunda Guerra Púnica.
Arquimedes foi famoso em todo mundo grego durante sua vida, e desde então se tornou uma figura lendária, não apenas pelas profundas descobertas matemáticas, mas antes por suas façanhas vívidas e memoráveis, suas muitas invenções engenhosas e sua morte. Poucos fatos de comprovação sólidos são conhecidos, mas narrativas tradicionais de suas atividades são encontradas nos escritos pelos séculos de numerosos autores romanos, gregos, bizantinos e árabes. Ele gravou sua personalidade no mundo e o mundo não o esqueceu.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio de hidrostática que traz o seu nome, talvez mais notáveis suas investigações sobre a quadratura do círculo, que isso e não outra coisa, vem a ser, em definitivo, a descoberta da relação aproximada entre a circunferência e o diâmetro, relação que os geômetras designam comumente com a letra grega pi.
A vida
Para seus concidadãos de Siracusa, a figura de Arquimedes foi, sem dúvida, célebre e famosa. Talvez o fosse por seus méritos científicos e pelas excentricidades e grandes inventos que lhe atribuíram ou por sua vinculação, talvez parentesco, com a família real, na qual gozava grande estima. Com uma aguda visão de estadista, dizia o rei Herão II: “Mostrai-me um homem que faça crescer duas espigas de trigo onde hoje só cresce uma e lhe concederei mais honras que ao próprio Arquimedes”.
Uma obra da Vida de Arquimedes, escrita por Heracleides amigo e contemporâneo, em que Arquimedes o cita em um de seus prefácios perdeu-se e a vida de Arquimedes, foi reconstituída sobre a base de fragmentos diversos de autores distintos, em especial dos historiadores das guerras púnicas.O fato indubitável de haver Arquimedes morrido no saque que se seguiu à queda de Siracusa em mãos de Marcelo, em 212, com o testemunho de Proclo e a notícia dada por um gramático bizantino do séc. XII, Tzetzes, de haver Arquimedes vivido 75 anos, fixam a data de seu nascimento em 287 a.C.
As atividades de seu pai, o astrônomo Fídias, influiu, sem dúvida na vocação e formação científica de Arquimedes que, desde jovem, esteve em Alexandria, onde fez amizade com vários mestres alexandrinos, com os quais depois manteve correspondência científica. Os mestres foram os sucessores de Euclides: Conon de Samos e, depois da morte deste, Dositeu de Pelusa e Eratóstenes.
Κόνων ὁ Σάμιος, (Konōn ho Samios) c. 280 – c. 220 BCE
Kónon ou Konão nasceu em Samos, Iônia, e morreu possivelmente em Alexandria, Egito ptolemaico, onde era astrônomo da corte para Ptolemeu III Evérgeta.
Caio Valério Catulo dedicou um poema a Conão, em que descreve o episódio em que Berenice, esposa de Ptolemeu III Evérgeta, dedicou seus cabelos às deusas quando o rei voltou de sua campanha militar na Assíria, e, quando os cabelos sumiram, Conão identificou-os no céu, com a Cabeleira de Berenice, Coma Berenices.
Nem todos os astrônomos gregos aceitaram a atribuição. No Almagesto de Ptolemeu, Coma Berenices não é listado como uma constelação distinta. Entretanto, Ptolemeu faz atribuir várias indicações sazonais (parapegma) à Conão. Conão foi um amigo do matemático Arquimedes que ele provavelmente conheceu em Alexandria.
Papus estabelece que a espiral de Arquimedes foi descoberta por Conão. Apolônio de Perga relatou que Conão trabalhou com seções cônicas, e seu trabalho se tornou a base para o quarto livro de Cônica de Apolônio. Apolônio mais tarde relata que Conão enviou alguns de seus trabalhos à Trasídeo, mas que estavam incorretos. Já que seu trabalho não sobreviveu é impossível avaliar a precisão do comentário de Apolônio.
Em astronomia, Conão escreveu em sete livros seu De astrologia, incluindo observações sobre eclipses solares.
Ptolemeu mais adiante atribui dezessete "signos das estações" à Conão, embora isto possa não ter sido dado em De astrologia.
Sêneca escreve que "Conão foi um observador cuidadoso" e que ele "gravou eclipses solares observados pelos egípcios", embora a precisão desta declaração seja posta em dúvida. O romano Caio Valério Catulo escreve que Conão "discerniu todas as luzes do vasto universo e desvendou as ascensões e os cenários das estrelas, como o brilho flamejante do sol é escurecido e como as estrelas recuam em tempos fixos.
Conon is a small but prominent lunar impact crater that lies in the eastern foothills of the Montes Apenninus mountain range. The crater is named for the Greek astronomer Conon of Samos (250 BCE).
La chevelure de Bérénice : l'histoire (la légende ?) raconte que la reine Bérénice, fille du roi de Cyrène, épouse de Ptolémée III le bienfaiteur, dotée d'une magnifique chevelure, en sacrifia une partie dans un temple dédié à Aphrodite, déesse de l'amour et de la fécondité, afin de l'honorer pour avoir épargné son époux de retour de guerre. Mais cette offrande fut dérobée. Observant une constellation jusqu'ici inconnue, Conon aurait alors calmé les esprits en prétendant que la déesse avait transféré la royale chevelure dans les cieux étoilés... : d'où le nom donné à la constellation, encore usité aujourd'hui, de chevelure de Bérénice.
Eratóstenes
Eratóstenes de Cirene (em grego: Ἐρατοσθένης, Eratosthéni̱s; Cirene, 276 a.C. Alexandria, 194 a.C.) foi um matemático, gramático, poeta, geógrafo, bibliotecário e astrônomo da Grécia Antiga, conhecido por calcular a circunferência da Terra. Nasceu em Cirene, na África, e morreu em Alexandria. Estudou em Cirene, em Atenas e em Alexandria. Os contemporâneos chamavam-no de "Beta" porque o consideravam o segundo melhor do mundo em vários aspectos.
É creditado também a Eratóstenes a invenção do Crivo de Eratóstenes o terceiro bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria que é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite.
Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 30.
Inicialmente, determina-se o maior número a ser checado. Ele corresponde à raiz quadrada do valor limite, arredondado para baixo.
No caso, a raiz de 30, arredondada para baixo, é 5.
Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.
Encontre o primeiro número da lista.
Ele é um número primo, 2.
Remova da lista todos os múltiplos de 2 até 30.
No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27 e 29.
O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3.
Removendo seus múltiplos, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
5 é o último número a ser verificado, conforme determinado inicialmente. Assim, a lista encontrada contém somente números primos.
De volta a Siracusa, dedicou toda sua vida a pesquisa científica. Vida que, como a de outros grandes sábios, foi embelezada ou deformada pela imaginação popular, vestindo-a com anedotas mais ou menos verossímeis e exaltando-a com elogios tais que a impregnaram, as vezes, com certa atmosfera sobrenatural. Assim se expressa Sílio Itálico no poema dedicado à segunda guerra púnica: “Havia, pois, em Siracusa, um homem que, sem ser favorecido por uma grande fortuna, elevou-se por seu gênio acima da esfera da humanidade e da glória imortal dessa cidade. Sabia quando os raios do sol pressagiavam a tempestade; se a Terra estava fixa ou suspensa por seu eixo; por que o mar estendido sobre o globo mantinha-se preso a sua superfície; quais eram as causas da agitação das ondas e das diferentes fases da lua, que seguia o oceano no fluxo e refluxo de suas marés. Fama tinha de haver contado as areias da terra. Ele soube por a pique uma galera pelo esforço de uma mulher apenas, ele fez subir rochas possantes sobre o sentido de inclinação de um terreno”.
Arquimedes foi indubitavelmente um inventor muito engenhoso e bem-sucedido, mas Plutarco diz em sua Vida de Marcelo que suas invenções eram apenas “divertimentos de geometria em jogo”. Numa famosa passagem ele tenta nos dizer sobre a atitude de Arquimedes com relação à vida prática em geral e suas invenções em particular:
...foi tal sua inteligência, tão grande o seu engenho, e tal sua riqueza em teoremas, que sobre aqueles objetos que lhe haviam dado nome e glória de uma inteligência sobre-humana, não se permitiu deixar nada escrito; e, considerando a mecânica e, em geral, toda a arte que se exerce para satisfazer nossas necessidades , como artes ignóbeis e obscuras, não se dedicou se não as ciências cuja beleza e perfeição não estão vinculadas a nenhuma necessidade e diante das quais nenhuma outra poderia ser comparada.
Embora eloqüente, a veracidade do que diz aqui é mais que duvidosa, pois se sabe que Arquimedes num tratado que hoje está perdido (Sobre a feitura de esferas), que provavelmente abordava as detalhadas técnicas necessárias para a construção de seu planetário. Plutarco estava certamente contaminado, na mesma proporção em que Arquimedes não estava, pelo desprezo platônico por instrumentos científicos e por medições, desprezo que foi uma das muitas heranças sem nexo do filósofo Platão para sua posteridade aduladora.
Não obstante, é bem claro que, na Matemática pura, Arquimedes satisfazia em cheio os mais profundos desejos de sua natureza. Plutarco é mais convincente quando nos fala que poucas foram sa pessoas tão preocupadas com Matemática como ele era:
...Não podemos, portanto, rejeitar como inaceitável o que é comumente dito dele, que estando permanentemente encantado por sua Sereia particular, isto é, pela Geometria, ele se esquecia de comer e beber e até descuidava de seu corpo; e que, freqüentemente, era preciso ser arrastado para comer, ungir-se ou banhar-se e, ainda nesses momentos, traçava figuras geométricas nas cinzas do fogão; e, depois de ungido com azeite, desenhava linhas com o dedo sobre o seu corpo, tão grande era o prazer que encontrava nessas ocupações.
Arquimedes e a coroa
A anedota mais conhecida de Arquimedes, a da “coroa de ouro de Herão”, conhece-se através de Vitrúvio, um escritor romano, que em sua Arquitetura conta-a nos:
O INSIGHT DE ARQUIMEDES QUANDO ENTROU NA BANHEIRA CHEIA DE ÁGUA. O QUE SAIA DA BANHEIRA ERA O VOLUME DA PESSOA. E TENDO O VOLUME E A MASSA PODE-SE TER A DENSIDADE DO MATERIAL. (WP)
Entre o grande número de admiráveis descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar-se a que vou contar e na qual manifestou uma sutileza quase que inacreditável. Quando Herão reinava em Siracusa, este príncipe, pelos seus êxitos logrados em seus empreendimentos, propôs-se a oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma em dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo ouro que lhe havia entregado. Suspeitava porém, que o artesão retirara certa parte do ouro, substituindo por um peso equivalente de prata, o rei indignado, diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e com sua inteligência encontrassem esses meios. Certo dia nos banhos públicos, absorto nos seus pensamentos, deitando-se numa banheira cheia d’água até os bordos, observou ele que a água se elevava de nível ao penetrar na banheira. Subitamente, num desses momentos em que o cérebro trabalha com tanta rapidez que o tempo parece parar, ele levantou da banheira, saiu do banho, e ainda nu saiu correndo para sua casa pelas ruas da cidade gritando: “Heureka! Heureka!”, isto é, “Achei!, Achei!”. Com base nessa observação, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa; uma de ouro e a outra de prata. Mergulhou a massa de prata em um vaso com água e observou que o nível de água se elevara um certo grau. Logo após, mergulhou a massa de ouro e pode notar que o nível da água que se elevara não era igual à massa de prata e, sim, menor. Finalmente mergulhou a coroa, e esta deslocou mais água que a massa de ouro de mesmo peso, porém, menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro puro, soube quanto era a quantidade de prata que formava a liga, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão.
Alavancas
Em mecânica, ele descobriu o princípio da alavanca: “resistência vezes braço de resistência é igual a potência vezes braço da potência”; deu origem ao centro de gravidade e achou o centro de gravidade de muitas figuras sólidas e planas. De acordo com o autor, foi seu estudo de alavancas que o levou a dizer seu famoso aforismo: “Dê-me um ponto de apoio e levantarei o mundo”. Plutarco da outra versão:
Arquimedes afirmou um dia ao rei Herão, de quem era amigo e aparentado, que, com uma dada força, ele poderia mover qualquer peso dado; e, além disso, afirmou que se lha fosse dado uma outra Terra, ele poderia pular para ela e mover a nossa. Quando Herão, maravilhado, pediu para que lhe desse uma demonstração de algum peso grande movido por uma pequena força, Arquimedes fez com uma das galeras do rei fosse arrastada à praia; muitos homens assim o fizeram com grande esforço. Ordenou que nela entrassem muitos passageiros e muita carga; colocou-se sobre uma certa distância, e sem esforço visível, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consistia em uma porção de cordas e polias, ele puxou o navio para ele tão suave e seguramente como se estivesse se movendo nas águas.
Herão ficou tão estupefato com esse feito que declarou: “Desde esse dia, Arquimedes deve ser acreditado em tudo o que diz”.
Planetário hidráulico
Cícero decreve uma invenção de Arquimedes que causou uma impressão tão profunda no mundo antigo que é mencionada por muitos autores clássicos. Esse engenho aparentemente era um pequeno planetário, esfera móvel de bronze e vidro com mecanismo interno movido a água, no qual durante uma revolução, o Sol, a Lua e cinco planetas moviam-se do mesmo modo relativamente à esfera das estrelas fixas, como fazem no céu em um dia, e na qual podiam se observar as fases e os eclipses da Lua. Esferas fechadas como os modernos globos terrestres, moviam-se uniformemente e imitavam o movimento diário das estrelas fixas, eram conhecidas de há muito, mas a de Arquimedes era capaz com um mecanismo os movimentos independentes e bem diferentes do Sol, da lua e dos planetas, junto com a revolução das estrelas fixas, e parecia, a seus contemporâneos a evidência de habilidades supra-humanas. Cícero tendo ele próprio visto o planetário escreve:
Quando Gallus pôs a esfera em movimento, podia-se realmente ver a Lua subir sobre o horizonte da Terra após o Sol, exatamente como ocorre no céu todos os dias; e então podia-se ver como o Sol desaparecia e como a Lua entrava na sombra da Terra com o Sol do lado oposto.
Parafuso de Arquimedes
Parafuso de Arquimedes
(By Silberwolf, size changed by Jahobr)
O “parafuso de Arquimedes” trata-se de um cilindro cuja parte interna era ocupada por uma rosca helicoidal de inclinação suave. Posto em movimento o tambor, por intermédio de um dispositivo qualquer, e mergulhado n’água sua extremidade inferior, a água era elevada no interior do cilindro; deslizava ao longo das roscas do helicóide em movimento, uma por uma, até sair na extremidade superior, como jato borbulhante. Tal engenho pode ser encontrado nas paisagens egípcio ainda nos nossos dias, girando sempre e fertilizando assim, áridos campos com a água do Nilo.
Espiral de Arquimedes
Spiral, plane curve that, in general, winds around a point while moving ever farther from the point. Many kinds of spiral are known, the first dating from the days of ancient Greece. The curves are observed in nature, and human beings have used them in machines and in ornament, notably architectural—for example, the whorl in an Ionic capital. The two most famous spirals are described below.
Although Greek mathematician Archimedes did not discover the spiral that bears his name (see figure), he did employ it in his On Spirals (c. 225 BC) to square the circle and trisect an angle. The equation of the spiral of Archimedes is r = aθ, in which a is a constant, r is the length of the radius from the centre, or beginning, of the spiral, and θ is the angular position (amount of rotation) of the radius. Like the grooves in a phonograph record, the distance between successive turns of the spiral is a constant 2πa, if θ is measured in radians.
Spiral of ArchimedesArchimedes only used geometry to study the curve that bears his name. In modern notation it is given by the equation r = aθ, in which a is a constant, r is the length of the radius from the centre, or beginning, of the spiral, and θ is the angular position (amount of rotation) of the radius.Encyclopædia Britannica, Inc.
The equiangular, or logarithmic, spiral (see figure) was discovered by the French scientist René Descartes in 1638. In 1692 the Swiss mathematician Jakob Bernoulli named it spira mirabilis (“miracle spiral”) for its mathematical properties; it is carved on his tomb. The general equation of the logarithmic spiral is r = ae θ cot b, in which r is the radius of each turn of the spiral, a and b are constants that depend on the particular spiral, θ is the angle of rotation as the curve spirals, and e is the base of the natural logarithm. Whereas successive turns of the spiral of Archimedes are equally spaced, the distance between successive turns of the logarithmic spiral increases in a geometric progression (such as 1, 2, 4, 8,…). Among its other interesting properties, every ray from its centre intersects every turn of the spiral at a constant angle (equiangular), represented in the equation by b. Also, for b = π/2 the radius reduces to the constant a—in other words, to a circle of radius a. This approximate curve is observed in spider webs and, to a greater degree of accuracy, in the chambered mollusk, nautilus (see photograph), and in certain flowers.
A concha do nautilus e a espiral logarítmica
Hidrostática
Arquimedes é conhecido também pelo que se denominou em hidrostática “Princípio de Arquimedes” e que pode ser considerado como importantíssima descoberta que determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas e que foi tão fecundo em felizes resultados.Este princípio afirma que quando um corpo está imerso num fluido, este exerce uma força para cima sobre o corpo igual ao peso do fluido deslocado. Desse princípio ele criou a ciência da hidrostática e provou muitos teoremas sobre posições de equilíbrio de corpos flutuantes de várias formas.
Máquinas de Guerra
Sabe-se que um homem de ciência pode valer por dez mil soldados. Os antigos romanos puderam comprová-lo quando atacaram Siracusa. A maior fama de Arquimedes na Antiguidade vem das muitas histórias dos engenhos de guerra que projetou para defender Siracusa contra o exército e a marinha do general romano Marcelo. Plutarco dedica várias páginas vívidas para descrever os ataques de romanos e o efeito devastador das máquinas defensivas de Arquimedes. Havia catapultas de alcance ajustável para lançar pedras enormes nas galeras inimigas que se aproximavam demais; gigantes guindastes de pressão que apertavam os navios pela proa, levantando-os e afundando-os no mar. Havia mesmo espelhos ustórios ou incendiários que incendiavam navios a distância. Plutarco escreve:
Os romanos, infinitamente desgastados por um inimigo invisível, começaram a pensar que estavam combatendo contra os deuses. Marcelo escapou ileso e, ridicularizando seus próprios engenheiros, disse; “Temos que abandonar a luta contra esse Briereus* geômetra, que, sentado na praia e agindo como se estivesse apenas brincando, exercita tiro ao alvo com nossos navios e nos atinge num momento com tal quantidade de dardos que ultrapassa mesmo os Briareus da mitologia”. Por fim, os romanos estavam tão assustados que se eles apenas vissem uma corda ou um pau sobre as muralhas, gritavam que Arquimedes estava preparando algum engenho contra eles, viravam as costas e iam embora.
Assim Marcelo abandonou sua intenção de assaltar a cidade e pôs esperanças num cerco. O sítio de Siracusa durou três anos e acabou em 212 a.C, com a queda da cidade.
* Monstro mitológico com cem braços, gerado por Urano e Gaia.
Briareus (hecatonkiros), existiam três Cottus, Briareus and Gyges, segundo Hesíodo na Teogonia, esse mesmo autor descreve os três irmãos como tendo cem mãos (ἑκατὸν μὲν χεῖρες).
A Morte
Archimedes died c. 212 BC during the Second Punic War, when Roman forces under General Marcus Claudius Marcellus captured the city of Syracuse after a two-year-long siege. According to the popular account given by Plutarch, Archimedes was contemplating a mathematical diagram when the city was captured. A Roman soldier commanded him to come and meet General Marcellus but he declined, saying that he had to finish working on the problem. The soldier was enraged by this, and killed Archimedes with his sword. Plutarch also gives a lesser-known account of the death of Archimedes which suggests that he may have been killed while attempting to surrender to a Roman soldier. According to this story, Archimedes was carrying mathematical instruments, and was killed because the soldier thought that they were valuable items. General Marcellus was reportedly angered by the death of Archimedes, as he considered him a valuable scientific asset and had ordered that he must not be harmed. Marcellus called Archimedes "a geometrical Briareus".
The last words attributed to Archimedes are "Do not disturb my circles", a reference to the circles in the mathematical drawing that he was supposedly studying when disturbed by the Roman soldier. This quote is often given in Latin as "Noli turbare circulos meos," but there is no reliable evidence that Archimedes uttered these words and they do not appear in the account given by Plutarch. Valerius Maximus, writing in Memorable Doings and Sayings in the 1st century AD, gives the phrase as "...sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'" – "... but protecting the dust with his hands, said 'I beg of you, do not disturb this.'" The phrase is also given in Katharevousa Greek as "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε!" (Mē mou tous kuklous taratte!).
Cicero Discovering the Tomb of Archimedes (1805) by Benjamin West
The tomb of Archimedes carried a sculpture illustrating his favorite mathematical proof, consisting of a sphere and a cylinder of the same height and diameter. Archimedes had proven that the volume and surface area of the sphere are two thirds that of the cylinder including its bases. In 75 BC, 137 years after his death, the Roman orator Cicero was serving as quaestor in Sicily. He had heard stories about the tomb of Archimedes, but none of the locals were able to give him the location. Eventually he found the tomb near the Agrigentine gate in Syracuse, in a neglected condition and overgrown with bushes. Cicero had the tomb cleaned up, and was able to see the carving and read some of the verses that had been added as an inscription. A tomb discovered in the courtyard of the Hotel Panorama in Syracuse in the early 1960s was claimed to be that of Archimedes, but there was no compelling evidence for this and the location of his tomb today is unknown.
The standard versions of the life of Archimedes were written long after his death by the historians of Ancient Rome. The account of the siege of Syracuse given by Polybius in his The Histories was written around seventy years after Archimedes' death, and was used subsequently as a source by Plutarch and Livy. It sheds little light on Archimedes as a person, and focuses on the war machines that he is said to have built in order to defend the city.
De acordo com todas as narrativas, Arquimedes morreu de modo consistente com sua vida, absorto em contemplação matemática. A sua morte também foi rodeada de certa atmosfera novelesca e narrada de diferentes maneiras. Transcrevo o parágrafo inteiro em que Plutarco conta a morte de Arquimedes depois que o exército romano conquistou as partes mais importantes da cidade sitiada: “Tomadas também estas, na mesma manhã marchou Marcelo para os Herápilos, dando-lhe os parabéns todos os chefes que estavam às suas ordens; mas, dele mesmo se diz que ao ver e registrar do alto a grandeza e beleza de semelhante cidade, derramou muitas lágrimas, compadecendo-se do que ia acontecer, por apresentar-se à sua imaginação que mudança iria sofrer, dali a pouco, em sua forma e aspecto, saqueada pelo exército. Com efeito nenhum dos chefes atrevia-se a opor-se aos soldados que haviam pedido se lhes concedesse o direito ao saque e ainda muitos aclamavam para que fosse incendiada e destruída. Em nada disto consentiu Marcelo e, só por força e com repugnância, condescendeu em que se aproveitassem dos bens e dos escravos, sem que nem sequer tocassem nas pessoas livres, mandando expressamente que não se desse morte, nem se fizesse violência, nem se escravizasse nenhum dos siracusanos. Pois, apesar de dar ordens tão moderadas, concebia o que iria padecer aquela cidade. E, em meio a tão grande satisfação, pôs-se a ver como padecia a sua alma ao considerar que, dentro de breves momentos, iria desaparecer a brilhante prosperidade daquele povo, dizendo-se que não se recolheu menos riqueza naquele saque que a que se apanhou, mais tarde, no de Cartago; porque, tendo sido conquistadas por traição, daí a pouco tempo, as demais partes da cidade, saquearam-na toda, com exceção apenas da riqueza dos palácios do tirano, a qual foi adjudicada ao erário público. Mas, o que principalmente afligiu a Marcelo foi o que ocorreu com Arquimedes: encontrava-se este, casualmente, entregue ao exame de certa figura matemática e, fixo nela seu espírito e sua vista, não percebeu a invasão dos romanos nem a conquista da cidade. Apresentou-se lhe repentinamente um soldado, dando-lhe ordem de que o acompanhasse à casa de Marcelo; ele, porém, não quis ir antes de resolver o problema e chegar até à demonstração; com o que, irritado, o soldado desembainhou a espada e matou-o. Outros dizem que o romano já se apresentou com a espada nua e em atitude de matá-lo e que, ao vê-lo, rogou-lhe e suplicou que esperasse um pouco para não deixar imperfeito e obscuro o que estava investigando, do que o soldado não fez caso e atravessou-o com a espada. Ainda há, a respeito disso, uma outra versão, dizendo que Arquimedes levava a Marcelo alguns instrumentos matemáticos, com os quais mostrava a vista a grandeza do sol e que, dando com ele, os soldados, como acreditassem que dentro levava ouro, mataram-no. O que não se pode duvidar é que Marcelo o sentiu muito e ordenou ao soldado assassino que se retirasse de sua presença como abominável, e mandando buscar os parentes do sábio, tratou-os com maior apreço e distinção”.
Uma versão não muito diferente é a de Valério Máximo: ...Marcelo, senhor finalmente de Siracusa, não ignorava que havia sido as máquinas desse geômetra que haviam demorado tanto a sua vitória. Entretanto, cheio de admiração por esse gênio extraordinário, deu ordem para que lhe conservasse a vida, sendo para ele de tanta glória a conservação de Arquimedes como a tomada de Siracusa. Mas, enquanto Arquimedes, com a vista e a atenção fixas ao solo, traçava figuras, um soldado que penetrava em sua casa para saqueá-la, levantou sobre ele a espada, perguntando-lhe quem era. Arquimedes, totalmente dedicado ao problema cuja solução buscava, não atinou com dizer-lhe seu nome, mas, mostrando-lhes com as mãos as linhas desenhadas sobre a areia, disse: “Por favor, não perturbe meus círculos”. E o soldado, vendo nesta resposta um insulto ao poder dos vencedores, cortou-lhe a cabeça; e o sangue de Arquimedes confundiu-se com o trabalho de sua ciência.
ESFERA DE ARQUIMEDES
(Fonte: AndertxumanVector version: CheCheDaWaff - This file was derived from: Esfera Arquímedes.jpg:, Public Domain, WP)
Arquimedes “encarregou a seus parentes e amigos que, depois de sua morte, colocassem em sua tumba uma representação de um cilindro circunscrevendo uma esfera e, em memória a sua maior façanha matemática, colocassem na inscrição a proporção (3/2) que exprime o quanto, nesses dois sólidos, o continente supera ao contido” – alusão de Plutarco. Isso foi feito por ordem de Marcelo. O orador romano Cícero, quando era questor na Sicília, em 75 a.C., procurou o monumento, achou-o abandonado e coberto por ervas.Eis aqui a alusão de Cícero a esse fato que ele conta, não sem certa jactância:
“... Arquimedes, cujo sepulcro ignorado pelos siracusanos, rodeado de sarças e espessos matagais até o ponto de haver-se perdido todo e qualquer sinal dele, eu o descobri quando era Questor de Siracusa. Eu conhecia certos versos senários, cópia de outros que haviam sido inscritos em seu monumento, os quis declaravam que havia em seu sepulcro uma esfera com um cilindro. Depois de haver percorrido todos os inumeráveis sepulcros que existiam próximo à porta de Agrigentum, vi uma pequena coluna que não se levantava muito dos matagais, na qual estava a figura de uma esfera e de um cilindro. Disse então, aos principais siracusanos que estavam comigo que acreditava haver encontrado o que tanto procurava. Começaram a abrir o caminho até descobrir o sepulcro. Deste modo pudemos penetrar até o outro lado da base. Apareceu um epigrama , meio apagado as últimas palavras dos versos. Desta maneira uma das cidades mais ilustres a Grécia, em outros tempos a mais douta, teria ignorado o monumento Sepulcral de um cidadão seu tão ilustre”. Essa talvez, a mais memorável contribuição de um romano para a História da Matemática, devido ao desinteresse deste povo à ciência dos números.
STOMACHION
The Stomachion is the least understood of Archimedes' works. This paper provides a reconstruction of its goal and structure. The nature of the evidence, including new readings from the Archimedes Palimpsest, is discussed in detail. Based on this evidence, it is argued that the Stomachion was a treatise of geometrical combinatorics. This new interpretation is made possible thanks to recent studies showing the existence of sophisticated combinatorial research in antiquity. The key to the new interpretation, in this case, is the observation that Archimedes might have focussed not on the possibility of creating many different figures by different arrangements of the pieces but on the way in which the same overall figure is obtained by many different arrangements of the pieces. The plan of the paper is as follows. Section 1 introduces the Stomachion. Section 2 discusses the ancient testimonies and the Arabic fragment, while Section 3 translates and discusses the Gr~ek fragment. Section 4 sums up the mathematical reconstruction offered in this paper, while Section 5 points at the possible intellectual background to the work. Appendix A contains a transcription of the Greek fragment, appendix B an English translation with redrawn diagrams, appendix C a reproduction of the digitally enhanced images of the pages of the palimpsest containing remains of the Stomachion.
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Several sources-all later than Archimedes himself-refer to a game called the 'Stomachion' ('the Belly-Teaser': attested in Archimedes' Greek fragment and some readings of Magnus Felix Ennodius 5 and Decimus Magnus Ausonius 6) or the 'Ostomachion' ('the Bone-Battler', other readings of Ennodius and Ausonius), perhaps even 'Suntemachion' ('the Slice-Fitter', perhaps to be read in the Arabic fragment of Archimedes, see below).7
The consistency across time and space is remarkable: from at least as early as Archimedes himself, through Lucretius,S and down to the sixth century (date of Ennodius', latest datable testimony), Mediterranean children played a kind of tangram or 'Chinese Puzzle'. This was rigidly defined by a set of 14 pieces,9 ideally made of ivory (Ennodius, Asmonius, Cresius Bassus), that could be fitted to form either a square (implied by the Arabic fragment of Archimedes, stated in Lucretius and Cresius Bassus), or alternatively-and much more prominently in our literary sources-the figures could be fitted to form many fantastic shapes so as to suit the player's imagination (Ausonius, Asmonius, Cresius Bassus, who all repeat what must be a topos: the Stomachion as a metaphor for the way in which many prosodic combinations are possible from the same building-blocks). In the first case of forming a square, this was a game of patience and spatial intuition; in the second case of forming many fantastic figures, this was a game of creativity. This distinction would be crucial below, to our understanding of the game as studied by Archimedes. The impression made by the ancient testimonies is that the game, in antiquity, was meant for young children. Perhaps Archimedes' treatise is the work of a young father.
...
It is the most crucial piece of evidence. We are considering a single page from the Archimedes Palimpsest-in fact, once again, a very complex and composite object. To understand the grounds for the new readings, this complexity must be explained. We start with a piece of parchment owned by an anonymous collector and presently at the Walters Art Museum at Baltimore. This is a sorry sight. The page is torn in two at around the line where it was bent so as to form two pages177 and 172-in a prayer-book. Its top half, or page 177-for much of the last century, the last page of that book _15 is especially severely damaged by mold that ate into the parchment and destroyed considerable parts of it. The bottom half, or page 172, fared only a little better. All of this damage happened during the 20th century, probably at the hands of the family that sold the book in 1998. Indeed almost nothing can now be read with the naked eye. As explained in a previous publication [Netz, Saito, and Tchernetska 2001-2002], readings from the Palimpsest now ·crucially depend on digital image processing, provided by a team led by Roger Easton, Keith Knox and Bill Christens-Barry. In this particular part of the manuscript, however, the problem is exacerbated as a significant part of the original parchment is now lost so that· no digital imaging can be of help. Here comes in yet another element in the composite object that we now study. Heiberg, it turns out, did not produce his transcription only from naked-eye inspection. As he explained himself in his publications, he commissioned a set of photographs of the manuscript. It seems that through the twentieth century hardly anyone paid
14. The above considerations were not mentioned by Heiberg, who in fact claims quite casually of this proposition 'sine dubio ultima opusculi propositio'(!) [Archimedes 1910-15, 2:420].
15. The manuscript used to have further pages, 178-185, lost and then replaced by a paper quire perhaps during the 16th century, and then finally detached from the book at some stage of the 20th century; see [Netz 2001].
any attention to Heiberg's mention of the existence of those photographs and that those who did assumed they were lost. Following the rediscovery of the Archimedes Palimpsest, these photographs were traced at the Royal Library in Copenhagen (where they are catalogued among the collection of photographs, and not inside Heiberg's Nachlass: this is probably why they were never consulted during the twentieth century). These are excellent images, excellently preserved. Taken in 1906, they are today, in many places-especially in such badly damaged areas as in parts of the Stomachion page-better than the manuscript itself. If only we could peer behind Heiberg's shoulder and illume an ultra-violet bulb! This we cannot do; but we can capture the photographs digitally, enlarge them and present them to the eye in ways much more effective than Heiberg could have had. The only unfortunate thing is that "Heiberg did not produce a complete set of such photographs. 16
About two thirds of the text by Archimedes is covered as a whole. For the Stomachion, we have three of the four sides required for a complete set: 172 recto and verso, as well as 177 verso, but unfortunately not 177 recto. This however has mainly the ending of the previous treatise-the Dimensio circuli-and only the very beginning of the Stomachion itself. We thus are at the mercy of mold when it comes to the title of the treatise which, in fact, would be very important to read properly and may never be.17
Based on this evidence, a tentative transcription of the Stomachion fragment can be produced, here reported as appendix A. Here is the tentative translation of the introduction to the work, based on that tentative transcription: 18
As the so-called Stomachion has a variegated theoria of the transposition of the figures from which it is set up, I deemed it necessary: first, to set out in my investigation of the magnitude of the whole figure each of the to which it is divided, by which it is measured; and further also, which are angles, taken by combinations and added together; said for the sake of finding out the fitting-together of the arising figures, whether the resulting sides in the figures are on a line or whether they are slightly short of that unnoticed by sight. For such considerations as these are intellectually challenging;19 and, if it is a little short of while being unnoticed by vision, the that are composed are not for that reason to be rejected. 20
So then, there is not a small multitude of figures made of them, because of it being possible to rotate them (?)21 into another place of an equal and equiangular figure, transposed to hold another position; and again also with two figures, taken together, being equal and similar to a single figure, and two figures taken together being equal and similar to two figures taken together-, out of the transposition, many figures are put together. So then, we write first a small theorem pointing to this .
Which he translates:
Fieri igitur potest, ut inde non paucae figurae , quia aliam part em in aliulIl locum figurae aequalis et aequiangulae transponere aliamque substituere.
And comments 'Quid haec sibi velint, satis obscurum est' [Ibidem, 2: 417].
Why was this passage obscure to Heiberg? He did not read the crucial word-the subject of the sentence ϖλήθος (177v. col. 1,1.1) He thus read έστί in the sense of 'it is possible', and derived the main thrust of the sentence as reminding us that there is a variety in the figures compos able by the Stomachion, as each figure may be transferred to some other position. This is probably related to one further obstacle to Heiberg's interpretation.
19. An anachronistic rendering of philotechna, ' the love of the art'.
20. The meaning of this last sentence is clear, and the Greek is more or less correct, but still it is likely that there is textual corruption here-as so often elsewhere in this text-and that the original made for smoother reading.
21. The translation of a single, crucial word is difficult, as the word is both difficult to read and, likely, corrupt.
Heiberg has read carefully the ancient testimonies to the game and was mindful of the ancient topos of the Stomachion as a symbol of variety, displayed by the many possible fantastic figures it may compose. It appears that the mention of 'it is possible to ... ' in Archimedes immediately pointed Heiberg to that ancient topos, and so his mind was ready to interpret the passage as referring to the well-known fact that by moving pieces around, different shapes could be formed-a soldier or an elephant. And indeed this is what Archimedes talks about, moving figures around from one position to another. So much Heiberg understood. And yet this reading is not even a genuine possibility. In short, if the text refers to there being many fantastic figures, then the mathematical comment about transposability is silly: why not just say that there are many figures because there are many ways of arranging the pieces? But this is worse: the claim of transposability, if referring to the creation of varying shapes, is in one sense misleading, in that there is a continuum of different shapes, in another vacuous, in that the only possible congruence relevant to the creation of varying shapes is self-congruence of the same piece before and after its transposition (and this is both trivial and silly). Most important, however, the claim of self-congruence is simply not the claim made here by Archimedes. Let us review the crucial words: ... (i) it being possible to rotate them into another place of an equal and equiangular figure, transposed to hold another position; and again also (ii) with two figures, taken together, being equal and similar to a single figure, (iii) and two figures taken together being equal and similar to two figures taken together ... The precise relationship between (i), on the one hand, and (ii) and (iii), on the other hand, is not certain, but it is beyond doubt that all three are contributing factors to the fact that there are many figures. The second case (ii) must be a reference to the exchange of one figure with a (congruent) figure-combination. Analogously, (iii) is naturally read as referring to the case where there are two figure-combinations, each composed, differently, of different constituents, yet, taken in combination, giving rise to congruence. (Otherwise, indeed, the case simply collapses to case (i) repeated twice). And with this reading established for (ii) and (iii), case (i) as well is now provided with a clear meaning, as referring to the congruence of a figure with another figure or with itself, rotated. The text goes through the ways by which different figure-combinations can be congruent with each other.22 Now, such an exchange of two separate congruent combinations, by necessity, does not give rise to a new overall shape. To the contrary, it must preserve overall shape. Thus the object of the discussion must be not the creation of many fantastic figures, but the possibility of many different arrangements with the same overall shape. One must also remember Archimedes' introductions elsewhere. Many of Archimedes' works contain a brief introduction. Those introductions are characterized by strict mathematical sobriety: Archimedes concentrates fully on describing the mathematical nature of the theorems he is about to discuss. It is therefore much preferable to find a relevant mathematical meaning to the passage. And of course: the game was never understood only in terms of a game of creativity, allowing the construction of many different figures. It was also a game of taking disparate figures and forming them into a square, which is indeed the only context by which the game is mentioned in our earliest testimony, that of Lucretius. And once .this is considered, then Archimedes' point becomes immediately obvious: there are many ways of arranging the square, precisely because some combinations short of the square itself can be transposed with others. Clearly, for such transpositions to take place, the transposed pieces must be at least equal (that is, of equal area) and equiangular. 23 The result of that is a new figure, in the sense of a new arrangement of lines within the square. 24
And notice finally that the burden of the paragraph is on the word ϖλήθος: there is, specifically, not a small multitude of such figures.
22. It is likely that Archimedes is merely suggestive in this passage, leaving out the clause that there can be more complex patterns as well with any number of constituents. This is in line with Greek treatment of generality elsewhere: it is hinted, rather than asserted (see [Netz 1999, Chapter 6]).
This then throws further light on the preceding paragraph. Archimedes points out there that two studies are required in order to complete the theory in question:
first, the number by which each part is measured from the whole (i.e., for each part, the fraction it occupies of the whole is calculated);
second, the angles resulting from the combinations of parts. This is obviously required so that we may decide which combinations of parts could be substituted for each. 25
Now, such a reading is conjectural at a crucial point: while the reference to measuring the angles resulting from the combination of the parts is certain, the reference to measuring the fractions of each of the parts is not. But this reading makes very simple mathematical sense; it is required by the repeated reference to 'equal and similar' later on in the introduction; its mathematical gist is nearly forced by the very meaningful characters μεγεθ (177r. col. 2, 1.7), necessarily a reference to magnitude, that is to some metrical measure on the parts; and finally, this reading can then very naturally be taken to be a reference to what survives as the Arabic fragment. This, then, provides us with a clear grasp of the mathematical structure of the Stomachion: it is the study of the transpositions allowed on the square of the game, for which one requires both a measurement of each piece as a fraction of the square as a whole, and a study of the angles formed by the combinations of parts; with the thrust of the study being the ϖλήθος; of the resulting figures. It is useful to explain in some detail how the study could have proceeded. Recall the results of the calculation arrived at by the fragment in Arabic. The parts are, as fractions of the whole, 1/16, 1/48, 1/6, 1/24, 1/24, 1/12, 1/12, 1/24, 1/48, 1/24, (1/2)(1/6)+(1/2)(1/8), 1/12, 1/12, 1/12. As explained above, these are all, technically speaking, unit-fractions, and the one exception-(1/2) (1/6)+(1/2) (1/8)- while not a canonical unit-fraction representation of that fraction (which would have involved no product of unit-fractions), is still using unit-fractions only. 26
Now, Greeks were used to calculating by unit-fractions (more below on the historical significance of this fact). We are not, and so it is easier for us to visualize the fractions by considering them as multiples of the common measure. This is 1/48, which provides us now with the following list of multiples: 3, 1, 8, 2, 2, 4, 4, 2, 1, 2, 7, 4, 4, 4.
Remember that, for two chunks to be substitutable, a necessary condition is that they will be equal, and we may now see how the calculation of fractions is directly of help: the combination of the multiples 3 and 1 of 1/48, for instance, may in principle be substitutable with the multiple 4 of the same fraction; or the combination of the four multiples of 2 may in principle be substitutable with two multiples of 4, etc. This provides an upper bound to the number of configurations.
The calculations run as follows. Consider first the exchange of single pieces. There are five 4s, four 2s, two 1s. The overall number of possible one-to-one permutations is thus 5!4!2!,(27) and this is the number of different configurations as well. Many-to-many permutations are simply repeated applications of many-to-one permutations, so that it suffices to consider the latter. It is enough to write the several decompositions of any number in the sequence above as a sum of lesser integers in the same sequence. There are few decompositions, and some of them can be ruled out as repeated applications of decompositions of even lesser integers (thus, 7=4+2+1 is made up of 7=4+3 combined with 3=2+1). The independent decompositions are 2=1+1; 3=2+1; 4=2+2 and 4=3+1; 7=4+3; 8=7+1. Each of them gives rise to 2 configurations (before and after the permutation; which ones among the Is, the 2s or the 4s are chosen is immaterial, since permutations of them have already been taken into account). The contribution of the many-to-one permutations to the number of configurations is thus 26. The final result is 5!4!2!26 =368640. This, of course, is only a necessary condition. A further condition is that of equiangularity. To see how this is considered, let us follow the first 'small theorem' in the Stomachion. 28
26. Jens H0yrup [1990] has studied the problem of the expression of unit-fractions in mathematical texts. Among other things, he recalls the "peculiarities of the Arabic vocabulary. Unit fractions from 1/2 to 1/10 possess a particular name of their own while those with larger denominators require a full phrase [ ... ] unless [they] can be composed from unit fractions with smaller denominators" [Ibidem: 297]. For this reason, preference was accorded by Arabic writers to expressions as the above, that appear unnecessarily contrived to our eyes. If so, it is likely that the form of the Arabic text is a minimal rewriting of the original sum, that would therefore have been (1/12)+(1/16).
27. Of course, factorials are only a convenient shorthand.
28. The figure (see Appendix A, p. 92) is drawn directly from the manuscript where, pace Heiberg, it is accurately drawn (with the single omission-a common scribal error-of the letter B; unless it is there, hidden by mold!). Heiberg was misled by his assumption that ancient diagrams should be correct in their metrical properties. Once the more schematic conventions of representation are understood, one looks for bisections at points that are not a bisection-and finds them! It is remarkable that, with the correct figure retrieved, one can find its traces in Heiberg's photograph as well.
29. What Archimedes refers to here as a 'right-angled parallelogram' (or a rectangle) must in fact be a square .. This is comparable to the way in which, in M ethodus 14, the text speaks of a parallelogramalone-when in fact a rectangle must be assumed. It is not clear how to account for such lapses of usage.
angles next to the point X. The same configuration can be traced in several ways in the figure of the Arabic fragment, e.g. we may find that the line AD is greater than the line AQ,30 from which follow many angle inequalities, e.g. any of the angles FQC, EQG, ALZ, TLF are greater than the angles CGE, CEG, AZB, ZBE, DZG. The fruitfulness of this small proposition in terms of the investigation of angles is therefore apparent. 31
Here the Greek fragment breaks off. Little survives of this final extant proposition, yet its goal is clear: by applying the result obtained above, and by introducing a new construction showing a detail of the geometrical configuration of the game, we can also show that for certain combinations it is (or, more likely, it isn't) 'possible to fit along lines, with the sections having an order'. We therefore get already into the actual business of checking the possibility of fitting-together (perhaps not yet that of transposition).32
The emerging structure of the Stomachion appears to be somewhat loose (though of course a broader picture would have clarified the structure). It is certainly a little surprising to see that, even though Archimedes has presented the requirements in terms of a calculation of fractions, followed by a study of angles, we start away with a study of angles and not, as implied, with the metrical calculation itself. Indeed, without a previous explicit geometrical setting up of the square of the Stomachion, the strategic significance of this small proposition cannot be grasped at all. However, all of this is well within what we may expect from an Archimedean style. It has been argued in Netz (forthcoming) that Archimedes may often, deliberately, obscure his path for obtaining the main result. The first Book of De sphaera et cylindro is a case in point. There, having set out explicitly his main goal-measurement of the volume and surface of the sphere and its sectors-Archimedes moves on, without explanation of the strategic function of the following pieces of the sequence, to discuss various general proportion inequalities, or equalities and inequalities holding within cones and cylinders, or indeed some quite irrelevant (so it appears) relations obtaining within equilateral polygons; and then, at a stroke, he reveals to us how all those disparate results may be combined to achieve the final result. 33
It appears quite likely that the Stomachion had an analogous structure: following upon the explicit setting out of the goal at the beginning of the treatise (extant in Greek), Archimedes then moved on to a series of disparate geometrical observations on various geometrical configurations, showing various equalities and inequalities holding especially with angles (only the very beginning is extant in Greek). Following upon that, he then offered the explicit construction and measurement of the fractions of each of the parts (extant in Arabic). And at this point, the various disparate geometrical investigations gained a clear, coherent meaning, as they now obviously mapped onto the square of the game-allowing Archimedes to combine all his results so as to proceed to the main goal of the treatise (no longer extant in any form: see below for this strange pattern of survival).
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CONIC SECTIONS
The early history of conic sections is joined to the problem of “doubling the cube.” According to Eratosthenes of Cyrene (c. 276–190 BC), the people of Delos consulted the oracle of Apollo for aid in ending a plague (c. 430 BC) and were instructed to build Apollo a new altar of twice the old altar’s volume and with the same cubic shape. Perplexed, the Delians consulted Plato, who stated that “the oracle meant, not that the god wanted an altar of double the size, but that he wished, in setting them the task, to shame the Greeks for their neglect of mathematics and their contempt for geometry.” Hippocrates of Chios (c. 470–410 BC) first discovered that the “Delian problem” can be reduced to finding two mean proportionals between a and 2a (the volumes of the respective altars)—that is, determining x and y such that a:x = x:y = y:2a. This is equivalent to solving simultaneously any two of the equations x2 = ay, y2 = 2ax, and xy = 2a2, which correspond to two parabolas and a hyperbola, respectively.
Later, Archimedes (c. 290–211 BC) showed how to use conic sections to divide a sphere into two segments having a given ratio.
Diocles (c. 200 BC) demonstrated geometrically that rays—for instance, from the Sun—that are parallel to the axis of a paraboloid of revolution (produced by rotating a parabola about its axis of symmetry) meet at the focus. Archimedes is said to have used this property to set enemy ships on fire. The focal properties of the ellipse were cited by Anthemius of Tralles, one of the architects for Hagia Sophia Cathedral in Constantinople (completed in AD 537), as a means of ensuring that an altar could be illuminated by sunlight all day.
Bibliografia
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